Proyecto de Cálculo Integral: La Piscina.

En el semestre previo antes de que hiciera su desafortunada aparición la COVID-19 en el 2020, los jóvenes de las diferentes especialidades que cursaron la Asignatura de Cálculo Integral, realizaron el que considero el último de los proyectos de esta materia, el cual lleva por nombre: «La Piscina», en el que realizaron un modelo a escala (2:100 Cm.) de una Alberca con las medidas que previamente les indiqué y del que tendrían que determinar la cantidad de litros de agua que se requerían para llenarla. Como la construcción incorporaba curvas llamadas Parábolas, los cálculos no podían hacerse únicamente con la matemática tradicional, sino que había que incorporar además el Cálculo Integral y la Geometría Analítica para determinar las ecuaciones respectivas y el volumen resultante. Los trabajos que me presentaron son los que muestro en el video.

¡Muchas felicidades a todos los participantes!

Tópicos de Cálculo Diferencial.

Tema 2. ¿Podrías obtener la derivada de una función sin saber Cálculo Diferencial?

Penúltima actualización: Noviembre 02 de 2009
Fecha de publicación inicial: Noviembre 19 de 2007

¡Claro que puedes!

Te dejo un video de mis clases en línea referentes a Cálculo Integral, pero que en esta ocasión toqué el tema del Cálculo Diferencial para analizar brevemente su aplicación estrella: Máximos y Mínimos. Resolví un problema simple de la determinación del punto máximo de una Parábola, aplicando tres fórmulas básicas. Espero te sirva.

La derivada de una función (o ecuación) es una operación matemática que te permite conocer la pendiente “general” de una curva. Después que se deriva, el resultado se iguala a cero y con esto se determinan los valores en los que la pendiente tendría un valor de cero, obteniendo con ello los valores Máximo y Mínimo de la ecuación, o sea el punto más alto y más bajo de una curva.

¿Complicado de entender? Simplemente observa la gráfica de la izquierda en donde están localizados los puntos Máximo y Mínimo de una curva que baja y sube.

Te voy a demostrar que la naturaleza evoluciona y que por lo tanto habiendo pasado muchas generaciones después de Newton y Leibniz ahora los jóvenes son más inteligentes solo que no quieren creérselo ni meterse en serio a estudiar matemáticas.

Voy a derivar una función y a partir de ello por simple inspección de los resultados tú derivarás otra. Que conste que a mí me llevó buen tiempo estudiar cálculo diferencial para aprender a hacerlo directamente, lo que no sucederá contigo porque al terminar este tema podrás ir con tus amigos a decirles que ya sabes derivar por lo menos funciones simples. ¡Qué tal!

Tópicos de Cálculo Integral.

Conclusión del proyecto:

«La Sirena de la alberca».

Nota. Si quieres ver el tema antecedente da un pulso AQUÍ.

El resultado de los cálculos realizados por mis alumnos para determinar el volumen interior de la alberca en su modelo a escala: 2:100 Cm., fue de 2.91 Lts, pero, pero, pero…

¿Y cómo llegaron a ello?

A ver… revisemos el modelo.

Modelo real…

Dividiendo la alberca en zonas quedan seis secciones y el volumen total del agua que le cabe es precisamente la suma de todas.

Modelo a escala… 2:100 Cm. 

SOLUCIÓN.

Las zonas 1, 3 y 6 son figuras geométricas simples similares a un cubo de las cuales su volumen se determina multiplicando sus lados.

Zona 1

Vol=(14)(8)(3)=336 Cm³

Tópicos de Cálculo Integral.

La sirena de la alberca.

Póbrecita la sirena, triste espera a su sireno, 
alguien… ¡maldición! de la alberca abrió el caño,
y el ser, mitad hombre, mitad pez,
se fue por él, con todo y su tamaño.

Por eso llora la preciosa ninfa,  
sola, deprimida, en su pequeño estanque,
ese que antes veía como el más lindo palacio,
hoy sin su pareja lo ve como cualquier espacio.

Por favor, ¡ya! ¡apiádense de ella!, 
¡traíganle a su bien amado!,
a lo mejor por ahí quedó atorado,
¡búsquenlo pronto en las cañerías! 
antes de que termine en una pescadería,
o de plano zarandeado en una cenaduría.

Y si no… ¡échenle agua a la piscina!,
llénenla rasita aunque sea con una jicarita,
para que pueda salir a buscarlo su sirena,
tal vez lo encuentre vagando por allí,
en las calles del pueblo de la fiesta eterna, 
o quizá en alguna zapatería, 
mirando… -muy quitado de la pena-, cosas que nunca compraría…

¿Un sireno con zapatos? ¡Naaah!

¿Quieres escuchar la «poesía» anterior -versión «light»- en voz del gato TOM? da un clic AQUÍ.

Pero… ¿Cuántos litros de agua se requerirían para llenar la dichosa alberca y dar así oportunidad a la pobre sirena de salir a buscar a su amado galán Sirenio?.

Construyamos el modelo matemático a partir de las medidas de la alberca, es decir determinemos las ecuaciones involucradas en el problema físico.

Seccionemos la alberca de la siguiente manera (por supuesto que no es la única manera de resolverlo)…

Como habrás notado las zonas 1, 3, y 6 son simples «cubos» de los cuales puede obtenerse el Volumen multiplicando: Lado por Lado por Altura/profundidad. La zona 4 vista de manera lateral es un trapecio, del cual su área se calcula mediante la fórmula: A=h(B+b)/2 (El área es igual al cociente del producto de la suma de la base mayor más la base menor multiplicada por la altura entre dos) luego obtienes el volumen multiplicando el resultado por el ancho de la alberca (los 7 metros). Las zonas 2 y 5 sólo pueden determinarse aplicando cálculo integral.

¿Sencillo no? Hazlo tú…

Nota. Es tarea para mis alumnos, misma que forma parte de un proyecto que ya están realizando. Después de terminarlo lo mostraré aquí.

Actualización: 05/Nov/2017
A continuación los proyectos presentados por mis alumnos…

Tópicos de Cálculo Integral.

Tema 18. Aplicando Cálculo Integral al interior del aula.

Sea la barda trasera de una de las aulas del plantel limitada en su parte superior por una viga que sostiene a su vez a otras más pequeñas, las cuales sirven como soporte del techo.

La curvatura del techo genera cavidades a sus extremos sobre la viga principal tal como se muestra en la siguiente imagen.

Da un Clic encima para crecerla…

Determina el área correspondiente a una de las cavidades curvadas del aula aplicando la matemática tradicional y el cálculo integral, y verifica la coincidencia de ambos resultados.

Primera dificultad. El problema de las mediciones exactas (esto se relaciona con el Principio de Incertidumbre de Heisenberg, si quieres leer algo al respecto da un Clic AQUÍ). A veces las superficies (o las cosas) «no se prestan» para medirlas con exactitud, y esto por lo general repercute negativamente en los resultados, así pues hagámoslo lo más preciso posible.

Las mediciones efectuadas arrojaron los siguientes resultados…

Da un Clic encima de la imagen para crecerla.

Solución 1. Aplicando las Matemáticas Clásicas.

Fórmula para la determinación del área del segmento de una parábola:

A=(2/3)(b)(h)

En donde:

Tópicos de Cálculo Integral.

Tema 17. Aplicaciones del Cálculo Integral.

Cálculo Integral aplicado al interior de la escuela. (Sólo para demostrar que los resultados de la aplicación del Cálculo Integral y la matemática tradicional coinciden en problemas simples).

Sea la rampa de mi escuela…

…bajo la cual hay una pequeña oficina, fría en temporada de invierno y un horno en tiempo de calor. El caso es que hay que determinar su Volumen aplicando las matemáticas clásicas, y después hacer lo mismo pero aplicando Cálculo Integral, lo cual por supuesto, en ambos casos debe arrojar el mismo resultado.

Después de hacer las mediciones correspondientes la siguiente imagen muestra la «traducción» al lenguaje matemático a partir de todo el conjunto, dicho de otra manera es el modelo matemático correspondiente al problema.

(Crece la imagen dando un Clic encima de ella).

Solución 1. Aplicando Matemáticas Clásicas.

Primero calcularemos el Área del trapecio que forma el frente de la oficina, después multiplicaremos el resultado por el ancho o profundidad de la oficina (es el ancho de la rampa) para obtener así el Volumen buscado.

Para determinar el Área utilizaremos la fórmula correspondiente a un trapecio:

En donde…

Modificando enfoques en los problemas de matemáticas.

Quienes impartimos asignaturas de matemáticas en los diferentes grados y especialidades, conocemos las dificultades que presentan estas en su aprendizaje. Poco atraen a nuestros alumnos, los cuales sólo cumplen con las tareas escolares impuestas a lo largo del curso pensando en obtener una calificación aprobatoria que les salve el semestre. Estudian para «pasar» la materia, no para aprender, esa es la verdad.

Sin embargo esta vez no será el escaso interés de los jóvenes por las matemáticas lo que analizaré aquí, esta vez quiero PROPONER una alternativa que además de abonar en la solución del problema, favorezca un posible cambio de mentalidad en los estudiantes. Ojalá que este escrito sea reforzado -o criticado- con opiniones de colegas docentes del área en cuestión y del resto que atienden asignaturas diferentes, ya que lo propuesto a continuación es aplicable en cualquier materia. Es algo sencillo de hacer pero que a fuerza de repetición tendría que repercutir en la manera de pensar y de actuar de los jóvenes, ¿cuánto? no lo sé.

Analiza los siguientes planteamientos para el mismo problema de Estadística básica.

-o-

Planteamiento 1. Calcula el promedio de los siguientes números.

14; 16; 10; 10; 15

Solución. 

Promedio = (14+16+10+10+15)/5 = 65/5 = 13

-o-

Planteamiento 2. Una empresa dedicada a la venta de pizzas tiene 5 trabajadores para entrega del producto a domicilio, los cuales un domingo entregaron las siguientes cantidades de pizzas.

14; 16; 10; 10; 15

Determina el promedio de ventas de ese día.

Solución. 

Promedio = (14+16+10+10+15)/5 = 65/5 = 13

El Promedio de ventas del día fue de: 13 Pizzas.

-o-

Antes de continuar te pregunto Lector/a: ¿Notas algo extraño en los planteamientos anteriores?.

Supongo que coincidiremos. Por supuesto que no hay nada raro en lo anterior, son planteamientos «normales». Esta forma de hacerlo es la clásica, la común, la que todos conocemos y con la cual nos enseñaron matemáticas nuestros profesores de antaño. También es la que está asentada en los libros que tratan acerca de temas de matemáticas.

Pero… y si lo hiciéramos de la siguiente manera:

Tópicos de Cálculo Integral.

Tema 16. Volúmenes aplicando Cálculo Integral.

«Junior», y su aventurada idea de llenar la alberca de su casa.

Previo a un fin de semana, «Junior», el chico más «fresón» de la ciudad, invitó a sus amig@s a una «albercada» en casa de sus «papis». Unos días antes del evento vació la alberca para limpiarla cumpliendo así con la condición impuesta por sus padres para permitirle su «fiestecita». Terminó de asearla y cuando todo estaba listo para llenarla ¡que pena!, el suministro de agua potable ¡falló! y peor aún, se enteró de que no habría agua en una semana, así que sus planes ¡que triste! se vinieron abajo. No obstante como «Junior» es necio y presumido se le ocurrió llenarla contratando pipas para transporte de agua, las cuales cuando preguntó a una empresa dedicada a esos menesteres le dijeron que cada una (de 15,000 Litros) tenía un costo de $500.00.

Si «Junior» decidiera hacerlo, ¿Cuánto dinero gastaría?.

Para saber cuánto dinero gastaría en llenar la alberca, obvio, primero necesitaría conocer el volumen del agua que requeriría, y como ésta está vacía a «Junior» no le sería complicado tomar las medidas que quisiera para determinarlo, peroooo… ¡caray! como nunca hizo caso a sus profesores de matemáticas que se reventaban el cerebro tratando de enseñarle áreas y volúmenes, a quienes les decía: «O seeeaaa teacherrr ¡Equis voy a necesitar esoooo!, yo voy a ser chef con maestría en bananas fry». (Traducción: «Junior» quiere ser un cocinero experto en plátanos fritos). Por eso no sabe cómo hacerlo. Y ¡Uf!, para acabarla de amolar, la alberca tiene una protuberancia cerca del centro parecida a «las curvas de Ninel (aquí puedes verlas)«, que se extiende a todo lo ancho de la misma, la cual pretende evitar que los que no saben nadar se pasen a la zona más profunda y se ahoguen. Así pues, en este caso el cálculo del volumen no es tan sencillo pues la forma física de la alberca es parecida a un cubo (Largo por Ancho por Alto), pero la curvatura «hace mosca».

«Junior» reflexiona… – O seeeaaaa… ¿Qué hago?, ¿contrato pipas sin importar «varo»?, ni idea de cuántas serán, probable unas six o seven… Total, gastar tres o cuatro «varo-grande» de la mesada que me da mi súper-papi rico-rico cero me importan con tal de que mis amixis sepan que soy hiper-mega-buenísima onda. Peroooo… nnnaaahhh… «open mind», le daré oportunidad a algún neeerd que me diga cuánto dinero gastaría en llenar mi piscina-water.

«Junior» hace memoria y recuerda que entre sus amigos de «Facebook» están Juan, Alejandro, Ricardo y Enrique («Kike» para sus amigos), cuatro estudiantes famosos en la escuela por haber resuelto problemas reales de matemáticas aplicadas, y además uno de ellos es un cantante repentino. Les envía un mensaje en su IPhone de última generación, les comenta el problema y quedan de verse por la tarde.

Tic-tac, tic-tac. El tiempo sigue su marcha inexorable.

Por la tarde llegaron los cuatro alegres compadres a la casa de «Junior» y después de que éste les preguntara si se habían limpiado las suelas de sus zapatos en el tapete persa de la entrada para no ensuciar su casa, todos se dirigieron a la alberca.

Tópicos de Cálculo Integral.

Tema 15. Todo es –hermoso– con Cálculo Integral.

El -fastuoso- Consejo Supremo del Consorcio: «Constructora de Casas Hermosas para hacer Gente Feliz como Cepillín. S.A. de C.V.», sospechando que su -magnifico- Arquitecto en Jefe les hacía -preciosas- cuentas «gordas» en la compra de mosaico con -hermosa- terminación tipo mármol para las cocheras de las casas que les construye (el «Arqui», ya inauguró una soberbia «tiendita» de su propiedad de venta de material de construcción), se reunió en sesión especial con los -millonarios- accionistas de la -pomposa- empresa. Después de discutir varios puntos de la agenda, entre otros la cuestión fundamental de si las luciérnagas tienen luz LED o incandescente, o si de plano tienen integrado un «foquito» ahorrador de 0.3 Watts, el -pulcro- Administrador en Jefe llamó a una de sus –divinas– asistentes y ordenóle lo siguiente: me buscas a un -magnifico- matemático/a para que nos calcule el total de metros cuadrados de mosaico que utilizaremos en las cocheras de mil -majestuosas- casas que construiremos. Sabiendo que tú «te defiendes» en matemáticas, y que además tu autoestima está más allá de la estratosfera, una de las –celestiales– asistentes te contrató para hacerlo. El problema es que no se trata de un área común la cual se obtiene de la simple multiplicación de dos longitudes, ese sería un asunto menor destinado a matemáticos nivel «chicken», en este caso se trata de un área especial.

Las casas son similares a la residencia modelo mostrada en la siguiente imagen. 

Obvio, basta con calcular los metros cuadrados de mosaico utilizado en la cochera de ésta casa y multiplicar el resultado por 1000.

Analizas espacios y tomas medidas. Verificas que hay simetría en las partes (del centro a la izquierda es igual que del centro a la derecha).

Resuelves el problema considerando que se trata del área bajo la curvatura de una -fabulosa- parábola.

1. Colocas un -exacto- sistema coordenado cartesiano justo al centro de todo…

Tópicos de Cálculo Integral.

Tema 14. Áreas limitadas por puntos de intersección entre curvas.

Los dos amigos.

Continuación…

-El modelo matemático quedaría así. -Dijo el arquitecto.

-A partir del cual podemos ‘encimarle’ un sistema coordenado cartesiano y con las medidas anteriores localizar la serie de puntos que nos ayudarán a encontrar la ecuación que rige a cada curva. El modelo derivado de la imagen anterior quedaría así…

-Como te dije anteriormente mi estimado cuasi-colega, A1 se obtiene de multiplicar los 6 Metros de la base por los 4 Metros de la altura del rectángulo, es decir: A1=4×6=24 M².

-Para A2 debido a que se trata del área bajo una curva primero tenemos que encontrar la ecuación que rige dicha curvatura.

Tópicos de Cálculo Integral.

Tema 14. Áreas limitadas por puntos de intersección entre curvas.

Los dos amigos.

Erase que se era, dos amigos que después de muchos años de no verse coincidieron en algún lugar, al encontrarse exclamaron…

–¡Qué ondaaaaaaa ‘carnalito’ del alma! ¡Tantos kilos sin verte! –Dijo uno.

-¡Hola mi estimado y nunca bien ponderado amigo! ¡Que gusto verte después de tanto tiempo! ¡Déjame estrechar tu robusto pecho con un fuerte, firme y efusivo abrazo! –Dijo el otro.

-¡Ja! Como siempre, sigues igual de ‘cremoso’… -Dijo el primero.

-Y tú como siempre, igual de… ‘ordinario’. ¡Ja! -Dijo el segundo.

Bla, bla, bla…

Después de los formalismos habituales y de las preguntas de respuestas obvias e intrascendentes, pasaron a asuntos más importantes…

-Bueno… Y por fin; ¿Qué carrera cursaste después de terminar tu bachillerato? –Preguntó el susodicho ‘cremoso’.

-Ninguna ‘carnal’ me dediqué a la albañilería. –Contestó el denominado ‘ordinario’ el cual preguntó a su vez. -¿Y tú?

-Estudié arquitectura.

-¡Órale! ¿En serio?

-En serio mi hermano, lo cual quiere decir que además de amigos somos casi, casi colegas, cuasi-colegas diría mejor, mientras tú haces casas pequeñas yo hago casas o edificios grandes y otras construcciones, pero igual, transitamos por los mismos caminos.

Bla, bla, bla…

La conversación continuó bebiendo café –lo dudo- o bebiendo refrescos amargos –lo más probable- en la zona VIP de algún restaurante importante –tal vez-, fonda o un ‘changarro’ cualquiera. Después, con la confianza renovada…

-¿Y en dónde te desempeñas laboralmente? –Preguntó el arquitecto.

-A veces ‘chambeo’ en ‘Casas Chiflonas S.A. de C.V.’ Es una empresa que tiene su matriz en Cempasúchil California y otras veces trabajo por mí cuenta.  –Contestó el albañil, que a su vez cuestionó; -¿Y tú mi estimado ‘Arqui…’?

Tópicos de Cálculo Integral.

Tema 13. Áreas.

Bajo una curva limitada por dos rectas.

Parte 3.

Evidentemente los problemas anteriores (Partes 1 y 2) podríamos haberlos resuelto sin hacer uso de técnicas modernas como la del Cálculo Integral, no obstante hay casos (imagen izquierda) que resultaría complicado resolver por métodos antiguos.

¿Cómo determinarías el área limitada por las dos rectas, la parábola y el eje de la X’s? (Áreas gris obscura y gris clara).

Sin duda el resultado es la suma de tres áreas, la primera de izquierda a derecha es la correspondiente a la recta: y=4x+12; la segunda correspondería a la curva: y = (x2/8)+3; y la tercera correspondiente a la recta: y=-4x+12

Pero… ¿de dónde a dónde? es decir: ¿de qué punto a que punto del eje X debemos calcular el área bajo las rectas y la curva?. Eso es parte del problema, y para solucionarlo debemos recurrir a las matemáticas básicas.

Para determinar el punto de intersección de la recta y = 4x+12 con el eje X’s, simplemente hacemos y=0; por lo que la expresión quedaría:

0 = 4x+12

es decir:

4x = -12

x = -12/4

x = -3

Tenemos pues que la recta: y = 4x+12 intersecta al eje X’s en -3

Ahora la pregunta es: ¿en qué valor de X se intersectan la recta y=4x+12 y la curva y=(x²/8)+3?

En este caso procederemos a hacer una igualación de ambas ecuaciones.

Decimos: y=y, entonces…

Tópicos de Calculo Integral.

Tema 13. Áreas.

Bajo dos rectas.

Parte 2.

Bien… supongo que a estas alturas ya concluiste que las coordenadas de todos los puntos de cruce de las rectas (1, 2 y 3) pueden determinarse por medio de procedimientos matemáticos, a «tanteo» podría ser, pero es inexacto, como igual lo es midiendo con una regla, hagámoslo matemáticamente.

Punto 1. La ecuación es: y=4x+16

Por simple deducción y dado que el Punto 1 está sobre el eje x, el valor de y debe ser cero, luego entonces, sí y=0 la ecuación correspondiente quedaría:

0 = 4x + 16; despejando x, quedaría:

x = -16/4 = -4

Así que: x = -4

Punto 2.

Procederemos de la misma forma que para el Punto 1.

0 = -2x + 3

x = -3/-2 = 1.5

Así que: x=1.5

Punto 3.

En este caso tendremos que trabajar con ambas ecuaciones.

En realidad las dos ecuaciones conforman lo que se denomina un sistema de ecuaciones lineales de primer grado, mismo que puede resolverse de varias maneras, a saber: método de: igualación, reducción, sustitución y por determinantes. ¿Cuál es el mejor método para resolverlas? Cualquiera que apliques, apliquemos el método de igualación.

Igualamos: y = y

Si y = y entonces: 4x + 16 = -2x + 3

Reacomodando términos quedaría:

4x + 2x = 3 – 16

6x = -13

x = -13/6

x = -2.16

Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones quedaría:

Tópicos de Cálculo Integral.

Tema 13. Áreas.

Bajo dos rectas.

Parte 1.

Determinar el área bajo una, dos o más rectas es relativamente sencillo y además existen varias formas de hacerlo, el problema es hacer lo mismo para una curva, tal es una -y solo una- de las aplicaciones del Cálculo Integral. No obstante, resolveré un problema de área bajo dos rectas a efecto de que el estudiante adquiera mayor seguridad en la aplicación de la técnica del cálculo integral.

Problema. Determinar el área de la figura que se forma al intersectar las rectas: y=-2x+3; y=4x+16 respecto al eje de las x.

Solución.

1. Lo primero que haremos es llenar una tabla dando valores a x y obteniendo valores de y, esas serán las coordenadas de los puntos que posteriormente uniremos.

2. Ambos valores: x e y, son las coordenadas de los puntos que localizaremos en un sistema coordenado cartesiano. Cabe recordar que los valores asignados a x son arbitrarios y pueden ir de uno en uno, de dos en dos, etc., todo dependería de la función de que se trate, ya que hay algunos casos -por ejemplo en funciones trigonométricas y=sen(x)– en los que es necesario asignar valores de 15 en 15, de 30 en 30, etc., y otros requieren asignar valores de 0.1 en 0.1

3. ¿Cuál es el área buscada?

Tópicos de Cálculo Integral.

Tema 12. Integral por partes.

Integrar por partes significa separar en dos partes la función que se pretenda resolver, por ejemplo:

∫x(x+2)^1/2dx

¿Cuáles dos partes?

Tienes que visualizar la operación que hay en la función (ecuación), para ello olvídate del símbolo de la integral y del dx (llamado diferencial de x) y concéntrate en el resto de la expresión.

La función es: x(x+2)^1/2

Observa que en la función hay un producto, la x está multiplicando a (x+2)^1/2 así que, separa en dos factores agregando dx a uno de ellos (el que mejor se acomode).

Resolvámoslo así…

Primer factor. De la función hacemos U=x,

Derivamos…

dU/dx = 1

Despejamos dU…

dU=dx

Segundo factor. Hacemos dV=(x+2)^1/2dx

Despejamos V… El diferencial (d) pasa del otro lado de la expresión efectuando la operación contraria, es decir integrándola.

V=∫(x+2)^1/2dx

Integramos…