Tópicos de Cálculo Integral.

27 11 2011

Tema 13. Áreas.

Bajo dos rectas.

Parte 1.

Determinar el área bajo una, dos o más rectas es relativamente sencillo y además existen varias formas de hacerlo, el problema es hacer lo mismo para una curva, tal es una -y solo una- de las aplicaciones del Cálculo Integral. No obstante, resolveré un problema de área bajo dos rectas a efecto de que el estudiante adquiera mayor seguridad en la aplicación de la técnica del cálculo integral.

Problema. Determinar el área de la figura que se forma al intersectar las rectas: y=-2x+3; y=4x+16 respecto al eje de las x.

Solución.

1. Lo primero que haremos es llenar una tabla dando valores a x y obteniendo valores de y, esas serán las coordenadas de los puntos que posteriormente uniremos.

2. Ambos valores: x e y, son las coordenadas de los puntos que localizaremos en un sistema coordenado cartesiano. Cabe recordar que los valores asignados a x son arbitrarios y pueden ir de uno en uno, de dos en dos, etc., todo dependería de la función de que se trate, ya que hay algunos casos -por ejemplo en funciones trigonométricas y=sen(x)– en los que es necesario asignar valores de 15 en 15, de 30 en 30, etc., y otros requieren asignar valores de 0.1 en 0.1

3. ¿Cuál es el área buscada? Resp. La contenida entre los puntos 1, 2 y 3.

Bien, sabemos ahora que se trata de un triángulo escaleno (tres lados desiguales) cuyos tres puntos de intersección son los mostrados en la figura.

4. ¿Cómo determinarías el área indicada?

Hay varias formas de hacerlo.

Aplicando Geometría tradicional (antigua).

Primera forma. Con una regla mides la base del triángulo, luego mides su altura y aplicas la fórmula: A=(b*h)/2

Segunda forma. Divides el triángulo escaleno en dos triángulos rectángulos, calculas ambas áreas con la fórmula anterior y las sumas.

Tercera forma. Conociendo las longitudes de los lados del triángulo aplicas la fórmula de Herón:

Donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semi-perímetro del triángulo.

Aplicando Geometría Analítica.

Primera forma. Calculas la distancia del punto de intersección 1 al 2, misma que será la base del triángulo. Luego calculas la distancia del punto de intersección de las dos rectas al eje x formando una perpendicular. Solo que… hay un problema, no sabemos exactamente en dónde cruzan las rectas. Es obvio que en el punto 1 la recta y=4x+16 cruza en -4, pero igual podría ser en -4.1 o -3.9 El caso es que necesitamos saber con exactitud el punto de intersección en 1, 2 y 3.

Dejaré el tema aquí. Te daré oportunidad que recuerdes/investigues/descubras cómo saber con EXACTITUD las coordenadas de los tres puntos de cruce que nos permitirían aplicar fórmulas de Geometría Analítica.

Software utilizado:
Excel, Photoshop, Picpick.
Página para graficar en línea: fooplot.com


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One response

21 12 2011
mercadeo en linea

Simplemente, resuelve el sistema para x e y. Por sustitución, despejando x en la primera ecuación, obtienes x =(-27 5y)/6 [1] Reemplazando en la segunda te quedaría: 8( (-27 5y)/6)) 7y = 5, realizando operaciones, (-216 40y)) 42y= 30 —–> 82y = 246 ——->y = 246/82=3 Reemplazando en [1], x = (-27 5(3))/6 = -2 Las rectas se cruzan en x = -2, y = 3. Un saludo.
……….

Gracias por comentar.
https://iguerrero.wordpress.com/2011/12/03/topicos-de-calculo-integral-18/
Un saludo cordial.
Ing. I. Guerrero Z.

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