Tópicos de Cálculo Integral.

19 09 2016

Tema 18. Aplicando Cálculo Integral al interior del aula.

logoci-2Sea la barda trasera de una de las aulas del plantel limitada en su parte superior por una viga que sostiene a su vez a otras más pequeñas, las cuales sirven como soporte del techo.

La curvatura del techo genera cavidades a sus extremos sobre la viga principal tal como se muestra en la siguiente imagen.

Da un Clic encima para crecerla…

cavidad

Determina el área correspondiente a una de las cavidades curvadas del aula aplicando la matemática tradicional y el cálculo integral, y verifica la coincidencia de ambos resultados.

Primera dificultad. El problema de las mediciones exactas (esto se relaciona con el Principio de Incertidumbre de Heisenberg, si quieres leer algo al respecto da un Clic AQUÍ). A veces las superficies (o las cosas) “no se prestan” para medirlas con exactitud, y esto por lo general repercute negativamente en los resultados, así pues hagámoslo lo más preciso posible.

Las mediciones efectuadas arrojaron los siguientes resultados…

Da un Clic encima de la imagen para crecerla.

modelo1mate

Solución 1. Aplicando las Matemáticas Clásicas.

Fórmula para la determinación del área del segmento de una parábola:

A=(2/3)(b)(h)

En donde:

A. Es el área del segmento de la parábola.
b. Es la base del segmento de la parábola, en este caso de 94 Cms.
h. Es la altura del segmento de la parábola la cual se obtiene al medir del centro de la base hasta el punto más alto. En este caso resultaron 9 Cms.

Así pues, sustituyendo datos obtendríamos…

A = (2/3)(94)(9) = 564 Cm²

Solución 2. Aplicando Cálculo Integral.

Primeramente debemos determinar la ecuación de la Parábola, sin la cual el Cálculo Integral no puede resolver nada, para ello requerimos conocer las coordenadas de dos puntos de la misma: uno es el Vértice y el otro es un punto cualesquiera. Cabe mencionar que inicialmente partimos de la suposición de que la curva es una Parábola, sin embargo después deben hacerse algunas comprobaciones para tener certeza de que efectivamente lo es, entonces…

Vert.(h=47, k=9); P1(20, 6).

Utilizaremos la “fórmula”: (X-h)2=-4p(Y-k); dado que la Parábola se abre hacia abajo y además tiene su Vértice fuera del origen.

Sustituimos datos para determinar p

(20-47)2= -4p(6-9)
(-27)2 = -4p(-3)
729 = 12p
∴ p = 729/12 = 60.75

Retomamos la fórmula de la ecuación de una Parábola… y sustituimos p, junto con las coordenadas del Vértice.

(X-h)2=-4p(Y-k)
(X-47)2=-4(60.75)(Y-9)
(X-47)2=-243(Y-9)
(X-47)2/(-243) =Y-9

Quedando entonces de la siguiente manera:

Y= [(X-47)2/(-243)] + 9

Comprobemos ahora si la ecuación anterior es correcta sustituyendo valores de X’s de los que ya conozcamos el valor de Y. Tenemos varios puntos para hacerlo: Vert(47,9); P(20,6); P1(94,0), incluso el punto de origen también sirve: Po(0, 0).

Hagámoslo….

Primero utilicemos el valor de X correspondiente al Vértice: X=47; al sustituirlo en la ecuación debe arrojarnos un valor de 9.
Y= [(47-47)2/(-243)] + 9
Y= [(0)2/(-243)] + 9
Y= [0] + 9 = 9

Con lo cual comprobamos que al menos la ecuación está bien construida. Pero ahora hagamos lo mismo con los demás puntos.

Si X= 20, entonces Y debe valer 6. Comprobémoslo.
Y= [(20-47)2/(-243)] + 9
Y= [(27)2/(-243)] + 9
Y= [729/(-243)] + 9
Y= -3 + 9 = 6

Nuevamente comprobamos que la ecuación es correcta… Finalmente hagámoslo con los otros dos puntos que no formaron parte en ningún sentido de la determinación de la ecuación de la parábola.

Si X=0, entonces Y debe valer 0. Comprobémoslo.
Y= [(0-47)2/(-243)] + 9
Y= [(-47)2/(-243)] + 9
Y= [2209/(-243)] + 9
Y= -9.09053 + 9 = -0.09053

Tenemos entonces que existe una ligera diferencia de: -0.09053

Si X=94, entonces Y debe valer 0. Comprobémoslo.
Y= [(94-47)2/(-243)] + 9
Y= [(47)2/(-243)] + 9
Y= [2209/(-243)] + 9
Y= -9.09053 + 9 = -0.09053

En los dos casos anteriores obtenemos el mismo error, lo cual es atribuible por supuesto a los fallos naturales a la hora de medir una superficie irregular, pero como son pequeños podemos considerar entonces que sí se trata de una Parábola con Vértice Fuera del Origen cuya ecuación es:

Y= [(X-47)2/(-243)] + 9

Ahora procedamos a construir y resolver la integral correspondiente para obtener el área. Los límites de la misma serán por supuesto: 0 y 94.

solucion-curvatecho

Tenemos entonces que el área obtenida aplicando Cálculo Integral es de: A=561.16 Cm2.

Comparando ambas áreas, una obtenida por la matemática clásica y otra por la matemática moderna cuyos resultados fueron los siguientes:

A1=564 Cm2; A2=561.16 Cm2, podemos concluir entonces que…

En cuanto al proceso matemático realizado a partir de los datos obtenidos de las mediciones efectuadas, ambos resultados son correctos, sin embargo la diferencia de casi tres unidades entre los dos se debe a lo inexacto de las mediciones, hechas a veces en superficies que no permiten medir con precisión. 

Tratándose de segmentos de parábolas como es el caso mostrado aquí lo más práctico para calcular su área es utilizar la fórmula clásica para ello, sin embargo cuando se trata de determinar áreas de secciones, por ejemplo la que existe de los 20 a los 50 Cm. para el mismo problema, es entonces cuando el Cálculo Integral tiene su principal aplicación.

Una vez aclarado este peliagudo asunto prueba ahora a resolver el mismo problema con los dos métodos pero con las siguientes medidas para el Vértice de la Parábola: V(50, 9). Ahora en lugar de los 94 Cm. tendrás 100 Cm. para la base, todo lo demás déjalo igual. Cuando termines escribe tus conclusiones en el espacio para comentarios.

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22 09 2016
RAYMUNDO

HOLA ING. GUERRERO GRACIAS POR SUS TMAS Y BLOG, SALUDOS ATENTOS, DISCULPE LA MOLESTI. YO SOY PROFESOR DE CETIS EN EL DF TECNICO DOCENTE ASOCIADO LLEVO POCO MAS DE 7 AÑOS DE ANTIGUEDAD A LA FECHA Y SOY DE BASE, MI DUDA ES CÓMO VAMOS A CAMBIAR DE PLAZA AHORA CON LA NUEVA REFORMA EDUCATIVA TENGO UNA PPLAZA QUE NO ES DE TIEMPO COMPLETO Y Y QUE ES TECNICA Y UN SERVIDOR CUENTA CON LICENCIATURA Y QUIERA SUBIR LAS HORAS Y CATEGORÍA, ANTES SI ALGUIEN SE JUBILABA HABIA CADENAS, Y AHORA???? COMO ES?
gracias y buen día.
………………

Hola Raymundo…
Por el momento ya no hay cadenas, para tener más horas debes presentar evaluación y obtener nivel de destacado o excelente. Aunque en tu caso la Minuta 2016 permite cierta “salvedad”, leela, te dejo el enlace para que la descargues: https://iguerrero.wordpress.com/2008/07/21/disposiciones-legales-3/
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

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