Tópicos de Cálculo Integral.

15 12 2010

Tema 12. Integral por partes.

Integrar por partes significa separar en dos partes la función que se pretenda resolver, por ejemplo:

x(x+2)1/2dx

¿Cuáles dos partes?

Tienes que visualizar la operación que hay en la función (ecuación), para ello olvídate del símbolo de la integral y del dx (llamado diferencial de x) y concéntrate en el resto de la expresión.

La función es: x(x+2)1/2

Observa que en la función hay un producto, la x está multiplicando a (x+2)1/2 así que, separa en dos factores agregando dx a uno de ellos (el que mejor se acomode).

Resolvámoslo así…

Primer factor. De la función hacemos U=x,

Derivamos…

dU/dx = 1

Despejamos dU…

dU=dx

Segundo factor. Hacemos dV=(x+2)1/2dx

Despejamos V… El diferencial (d) pasa del otro lado de la expresión efectuando la operación contraria, es decir integrándola.

V=(x+2)1/2dx

Integramos…

V=(x+2)1/2+1/(1/2+1)

V=(x+2)3/2/(3/2)

V=(2/3)(x+2)3/2

Los resultados obtenidos los aplicamos a la fórmula: UdV=UV – VdU

Quedaría… (si quieres ver el desarrollo escrito de la manera tradicional da un clic aquí)

x(x+2)1/2dx=(x)[(2/3)(x+2)3/2] – (2/3)(x+2)3/2dx=

(2/3)(x)(x+2)3/2(2/3) (x+2)3/2dx=

(2/3)(x)(x+2)3/2(2/3)(x+2)5/2/(5/2)=

Por lo que la integral: x(x+2)1/2dx es igual a….

= (2/3)(x)(x+2)3/2(4/15)(x+2)5/2+C

Expresado de otra forma…

= (2/3)(x)√(x+2)3(4/15)√(x+2)5+C

¿Complicado?

Ahora intenta resolverlo considerando el dx aplicado a la x

 


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