Tópicos de Calculo Integral.

3 12 2011

Tema 13. Áreas.

Bajo dos rectas.

Parte 2.

Bien… supongo que a estas alturas ya concluiste que las coordenadas de todos los puntos de cruce de las rectas (1, 2 y 3) pueden determinarse por medio de procedimientos matemáticos, a “tanteo” podría ser, pero es inexacto, como igual lo es midiendo con una regla, hagámoslo matemáticamente.

Punto 1. La ecuación es: y=4x+16

Por simple deducción y dado que el Punto 1 está sobre el eje x, el valor de y debe ser cero, luego entonces, sí y=0 la ecuación correspondiente quedaría:

0 = 4x + 16; despejando x, quedaría:

x = -16/4 = -4

Así que: x = -4

Punto 2.

Procederemos de la misma forma que para el Punto 1.

0 = -2x + 3

x = -3/-2 = 1.5

Así que: x=1.5

Punto 3.

En este caso tendremos que trabajar con ambas ecuaciones.

En realidad las dos ecuaciones conforman lo que se denomina un sistema de ecuaciones lineales de primer grado, mismo que puede resolverse de varias maneras, a saber: método de: igualación, reducción, sustitución y por determinantes. ¿Cuál es el mejor método para resolverlas? Cualquiera que apliques, apliquemos el método de igualación.

Igualamos: y = y

Si y = y entonces: 4x + 16 = -2x + 3

Reacomodando términos quedaría:

4x + 2x = 3 – 16

6x = -13

x = -13/6

x = -2.16

Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones quedaría:

y = 4 (-2.16) + 16

y = 7.36

Okkkk’.

Tenemos pues lo siguiente:

Coordenadas: P1(-4, 0); P2(1.5, 0); P3(-2.16, 7.36).

¿Cómo procederemos ahora con los datos obtenidos?

Si recuerdas hay una fórmula que te permite calcular la distancia del punto 1 al 2, a saber: d=|x2-x1| aplicándola en nuestro caso quedaría…

x2 = -4; x1 = 1.5, por lo tanto: d = |-4-1.5| = |-5.5| = 5.5

El resultado anterior quiere decir que la Base del triángulo mide 5.5 unidades (cms, metros, km, pies, yardas, lo que quieras).

La altura del triángulo es el valor de y del punto de intersección de ambas rectas, es decir: y = 7.36

Por lo que, aplicando la fórmula tradicional para calcular el Área de un triángulo quedaría:

A = (Base)(Altura)/2 = (5.5)(7.36)/2 = 20.24 Unidades cuadradas (o también llamadas unidades de área).

Bien, ya tenemos un resultado.

A veces, dependiendo de los datos tienes que formar dos triángulos como en la figura y proceder a calcular las dos áreas aplicando la fórmula anterior y posteriormente sumar ambas áreas.

Pero… ¿y el Cálculo Integral cómo debes aplicarlo?

Bueno… debes calcular dos áreas, una bajo la recta y=4x+16 que va desde -4 hasta -2.16, y otra bajo la recta y=-2x +3 que va del punto -2.16 hasta 1.5

Hagámoslo.

Primero construyamos el modelo matemático que no es otra cosa más que el planteamiento de las dos integrales que sumadas nos darán el Área total buscada.

Para la recta y = 4x + 16 la integral quedaría así:

Para la recta y = -2x + 3 la integral quedaría así:

De tal manera que el modelo completo quedaría:

Resolvámoslo…


¿Por qué aplicando Cálculo Integral resultaron 20.16 U² a diferencia de las 20.24 U² que obtuvimos mediante el procedimiento clásico?

Es obvio que el número de decimales juega un papel importante, si utilizas más decimales el resultado en ambos casos es el mismo.

Bien…. ya tenemos un problema resuelto por dos métodos, uno antiguo y otro moderno, pero… ¿para qué aplicar el método moderno si con las matemáticas clásicas podías resolver el problema?

Bueno… si todos los problemas implicaran rectas que se cruzan podrías resolverlos siempre mediante métodos antiguos, pero se da el caso de que la mayoría de los problemas implican curvas los cuales solo pueden resolverse aplicando matemáticas modernas como es el Cálculo Integral, en la siguiente parte resolveré uno de este tipo, por esta vez nos detendremos aquí.


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One response

29 02 2012
diaz mejia filiberto.

hola ingeniero, soy filiberto diaz tenancigo edo. de mex. devo realizar una instalacion para 15 computadoras, que tan biable es tomando en cuenta que la bajada es monofasica y ya alimenta 20 lamparas de 60 watts, 16 tomaco–rriente que suministran la energia a cuatro computadoras. y me serbiria seccionar las alimentaciones, con breikers.
……….

Hola Filiberto…
No te lo recomiendo, lo mejor es que contrates una nueva fase.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

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