Tópicos de Cálculo Integral.

7 11 2012

Tema 14. Áreas limitadas por puntos de intersección entre curvas.

Los dos amigos.

Continuación…

-El modelo matemático quedaría así. -Dijo el arquitecto.

-A partir del cual podemos ‘encimarle’ un sistema coordenado cartesiano y con las medidas anteriores localizar la serie de puntos que nos ayudarán a encontrar la ecuación que rige a cada curva. El modelo derivado de la imagen anterior quedaría así…


-Como te dije anteriormente mi estimado cuasi-colega, A1 se obtiene de multiplicar los 6 Metros de la base por los 4 Metros de la altura del rectángulo, es decir: A1=4×6=24 M².

-Para A2 debido a que se trata del área bajo una curva primero tenemos que encontrar la ecuación que rige dicha curvatura.

-Analizando la curva probablemente se trata de una Parábola, pero… ¿Por qué una Parábola y no parte de una Circunferencia o de una Elipse?; Te lo explicaré después amigo, mientras tanto pon atención a lo siguiente.

-Para determinar la ecuación de una Parábola cuyo vértice está fuera del origen del sistema coordenado necesitas saber las coordenadas del Vértice y de uno de sus puntos. Para el caso de la Parábola izquierda los datos son: vértice V(2,1) y el punto Origen del Sistema Coordenado: O(0,0) aunque igual puedes utilizar el punto: P2(4,0) pero para facilitar los cálculos mejor utilizamos el punto O.

-La “fórmula” que debes utilizar para saber la ecuación de la parábola es: (x-h)²=-4p(y-k). Esta “fórmula” se utiliza cuando la Parábola se abre hacia abajo,  entonces, sustituyendo datos: V(2,1); O(0,0)

(0-2)²=-4p(0-1)
(-2)²=-4p(-1)
4=4p
p=4/4=1

-La determinación de p te sirve para obtener la ecuación particular de la Parábola sustituyéndolo en la fórmula, junto con las coordenadas del Vértice: h=2 y k=1, entonces…

(x-2)²=-4(1)(y-1)
(x-2)²=-4(y-1)
(x-2)²/-4=(y-1)
[(x-2)²/-4]+1=y

-Es decir:

y1=[(x-2)²/-4]+1 Que es precisamente la ecuación que rige a la curvatura azul.

-Ahora bien, debido a que ambas curvas son semejantes pero desplazadas dos unidades una de la otra, al repetir el procedimiento anterior llegarías a lo siguiente:

y2=[(x-4)²/-4]+1

-Ahora igualemos las dos ecuaciones para encontrar el punto de intersección entre ambas curvas, el cual aunque ya lo conocemos nos servirá para reforzar la idea de que se trata de dos Parábolas, hagamos: y1=y2

[(x-2)²/-4]+1=[(x-4)²/-4]+1
[(x-2)²/-4]=[(x-4)²/-4]
(x-2)²(-4)=(x-4)²(-4)
(x²-4x+4)(-4)=(x²-8x+16)(-4)
-4x²+16x-16=-4x²+32x-64
-4x²+16x-16+4x²-32x+64=0
-16x+48=0
-16x=-48

x=-48/-16=3

-Con esto comprobamos que efectivamente las curvas se cruzan en x=3 tal como lo muestra el esquema y como se deduce de lo que dijo nuestro amigo mesero al señalar que las curvas están distribuidas igual. A partir del dato anterior sustituyéndolo en cualquiera de las ecuaciones determinamos el valor de y.

y1=[(3-2)²/-4]+1
y1=[(1)²/-4]+1
y1=[1/-4]+1
y1=-0.25+1
y1=0.75

-Y ahora querido amigo viene la prueba de fuego, llama a tu ‘carnal’ mesero y pregúntale si son 4.75 Metros la altura del piso al punto de intersección de ambas curvas. -Dijo el arquitecto.

-¡Ya vas! -Dijo el albañil.

-¡Hey compadrito! ¡Ven para acá otra vez amigo!

-Dígame caballero.

-Sabes qué… faltó que me dijeras la altura del piso al punto de cruce de las dos curvas, pero para veas que me la ‘rajo’, sin necesidad de que me la digas y tampoco sin necesidad de medir te voy a decir cuál es…

-A ver caballero, ¿Dígame cuál es? -Preguntó el mesero.

-Son cuatro metros con setenta y cinco centímetros; ¿Sí o no?.

-¡No!. -Dijo el mesero.

-¡Ja! ¡Chale! Te falló mi Arqui… -Dijo el albañil dirigiéndose al arquitecto.

-Ni hablar -Dijo éste último; -Tendré que realizar nuevos cálculos.

-¡No!. -Repitió el mesero y agregó; -No sé cómo lo supieron sin moverse de su lugar, efectivamente esa es la medida.

-¡Ah! ¡Órale! %$&#(*+# -Replicó el albañil y agregó; -No seas ‘mamuco carnal’, mira que el ‘arqui…’ se pudo infartar cuando dijiste que no.

-¡Ja!. -Rió el mesero alejándose de los dos amigos.

-Este ‘Uey’; -Dijo el albañil al arquitecto, el cual señaló…

-Pues… entre ‘mamucos’ te veas… -Luego continuó diciendo.

-En fin, como ya conocemos las ecuaciones de ambas curvas ahora sí podemos aplicar Cálculo Integral.

-La primera integral será para la curvatura azul y quedaría así:

-Tenemos entonces que el área bajo la curva azul (A2) entre los límites 0≤x≤3 es de 2.24 U² Pero, pero, pero… dicha área incluye la mitad del ‘vitral’ por lo que tendremos que restar esa parte, para lo cual, dado que hay simetría entre ambas curvas calcularemos el área entre los límites: 3≤x≤4

-Por lo que el área bajo la curvatura azul (A2) quedaría…

A2 = 2.24-0.42 = 1.82 M² …Decimales más, decimales menos…

-Luego… como A2=A3 Sumando todas las áreas quedaría…

Atotal = A1+A2+A3 = 24+1.82+1.82 = 27.64 M²

-Entonces querido amigo si tú hubieras puesto el tapiz cobrando por metro cuadrado y le hubieras hecho caso a Rolando que comentó en el artículo anterior diciendo que “a vuelo de pájaro” eran 26 M² hubieras perdido 1.64 M² ¡Qué tal! ¡Ah! Pero si le hubieras hecho caso a Juan Armando que también comentó diciendo que serían 28.5 M², las cuentas habrían resultado a tu favor en más o menos 1 M². ¿Cómo ves?. Ahora bien, en este caso el problema no es tan grave porque estamos hablando de sólo una pared, pero en mi caso, debido a que construyo grandes edificios en los que existe repetición de espacios lo anterior sí se convierte en un problema porque estaríamos hablando de cientos o incluso de miles de metros cuadrados de material a favor o en contra.

-Ahora dime colega… ¿Entendiste? ¿Ya puedes aplicar este procedimiento a tus cálculos para que te resulten más exactos? -Preguntó el arquitecto al albañil.

-Sabes que ‘carnalito’… ‘Ahí muere’, ‘la neta’, más o menos lo entiendo, pero mejor seguiré por los ‘siglos de los siglos’ hasta que la muerte me separe de mi ‘chamba’, calculando las áreas de la forma que lo hago… ¡Total! Para qué tantos números y letras, haciéndolo a mi manera a veces la diferencia resulta a mi favor y otras no, o sea que, ni más rico ni más pobre ‘carnal’, mejor… ¡Viva la vida! ¡Salud mi arquitecto y que viva el Rock and Roll setentero!.

-¡Ja! Se rió para sus adentros el arquitecto, y se dijo para sí, ‘No cabe duda que el Cálculo Integral no es para todos’, luego alzó su bebida y dijo con voz fuerte y firme…

-¡SALUD ‘Brothersin’! Por el gusto de habernos encontrado.

Software utilizado…
Maxima, Paint, Photoshop, Picpick y Microsoft Word.


Acciones

Information

3 responses

12 11 2012
Sandra

Buenas noches Ing. Guerrero, gusto saludarlo despues de algunos meses, despues de comentarle que destituyeron arbitrariamente a la delegada sindical de mi plantel, entre la base trabajadora en su mayoría y la secretaria general del SNTE a nivel estado de Morelos Maria Eugenia Bedolla, pusieron a una compañera que se presto a la corrupción, como secretaria delegacional, la cual a la hora de apoyar al personal administrativo ante la comisión dictaminadora en los corrimientos que se han generado por jubilación y defunción, ha servido para dos cosas, para nada y para nada, por lo que los administrativos hemos quedado fuera de los corrimientos con la aprovación del director y justificando que no estamos contemplados en las “Normas que regulan las condiciones especificas del personal docente de la DGETI”, y yo me pregunto, entonces el personal administrativo y de servicios que se ha superado académicamente está condenado a jubilarse con una clave administrativa.
He vuscado en diferentes normatividades, reglamentos, leyes, minutas y no he encontrado ninguna que se refiera en especifico a qué procede con el personal administrativo que reune requisitos para una plaza docente. Si usted sabe de algo, agradeceré mucho su valioso apoyo e información.
Le envio saludos y le deseo lo mejor.
………….

Hola Sandra…
Todo trabajador independientemente del tipo de plaza que ostente tiene derecho a mejorar sus ingresos a través de mejores plazas.
Para el caso de los trabajadores administrativos puede recurrirse -igual que para otros casos- a Reglamentación alterna, que aunque no sea la propia de cualquier manera las leyes establecen SUPLETORIEDAD, es decir, si algo no lo tienes en tus normas (o no tienes normas) puedes utilizar otras que regulen casos semejantes. En tu caso existen las normas para trabajadores administrativos de la UNAM y del Politécnico (están en la red).
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.
P.D. Dos ejemplos:
http://info4.juridicas.unam.mx/unijus/pdf/4.pdf
http://www.stunam.org.mx/28reglamentos/2009/06reglacmpe.pdf

12 11 2012
Arturo Arano S.

buen dia ing. gusto en saludarlo, me podria decir de favor en donde se aplica el calculo en electricidad, gracias.
………..

Hola Arturo…
En Electricidad, en cualquier función que represente una curva, sea de intensidad, voltaje, campos eléctrico y magnético, potencia o de consumo de energía ahí puedes aplicar el Cálculo Integral.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

7 11 2012
Miguel Ángel Peña

Que tal Ing. Me da gusto saludarlo. Una pregunta personal: Ud. ya tiene PROFORDEMS?
Su colega Miguel Ángel del CBTis 228; Parral, Chih.
…………..

Hola Miguel Ángel…
Aún no Colega, pero sí está en mis planes, más no sé si alcance a hacerlo por el poco tiempo que me queda para jubilarme.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s




A %d blogueros les gusta esto: