Tópicos de Cálculo Integral.

17 10 2015

Tema 15. Todo es hermoso con Cálculo Integral.

mesa fastuosaEl -fastuoso- Consejo Supremo del Consorcio: “Constructora de Casas Hermosas para hacer Gente Feliz como Cepillín. S.A. de C.V.”, sospechando que su -magnifico- Arquitecto en Jefe les hacía -preciosas- cuentas “gordas” en la compra de mosaico con -hermosa- terminación tipo mármol para las cocheras de las casas que les construye (el “Arqui”, ya inauguró una soberbia “tiendita” de su propiedad de venta de material de construcción), se reunió en sesión especial con los -millonarios- accionistas de la -pomposa- empresa. Después de discutir varios puntos de la agenda, entre otros la cuestión fundamental de si las luciérnagas tienen luz LED o incandescente, o si de plano tienen integrado un “foquito” ahorrador de 0.3 Watts, el -pulcro- Administrador en Jefe llamó a una de sus divinas asistentes y ordenóle lo siguiente: me buscas a un -magnifico- matemático/a para que nos calcule el total de metros cuadrados de mosaico que utilizaremos en las cocheras de mil -majestuosas- casas que construiremos. Sabiendo que tú “te defiendes” en matemáticas, y que además tu autoestima está más allá de la estratosfera, una de las celestiales asistentes te contrató para hacerlo. El problema es que no se trata de un área común la cual se obtiene de la simple multiplicación de dos longitudes, ese sería un asunto menor destinado a matemáticos nivel “chicken”, en este caso se trata de un área especial.

Las casas son similares a la residencia modelo mostrada en la siguiente imagen. 

Obvio, basta con calcular los metros cuadrados de mosaico utilizado en la cochera de ésta casa y multiplicar el resultado por 1000.

basecasa1

Analizas espacios y tomas medidas. Verificas que hay simetría en las partes (del centro a la izquierda es igual que del centro a la derecha).

Resuelves el problema considerando que se trata del área bajo la curvatura de una -fabulosa- parábola.

1. Colocas un -exacto- sistema coordenado cartesiano justo al centro de todo…

3Sin título

Tienes entonces una -preciosa- parábola que se abre hacia arriba cuyo vértice está fuera del origen, por lo tanto debes utilizar la -sublime- “fórmula”:

(X-h)²=4p(Y-k)

Observa que las coordenadas del Vértice de la parábola: V(h, k) (en este caso es el punto más bajo de la parábola), son: h=0; k=6

Las coordenadas de uno de los puntos de la parábola son: (-1.4, 8)

2. Sustituyes los datos anteriores en la fórmula mencionada… h=0; k=6; X=-1.4; Y=8

(X-h)²=4p(Y-k)

(-1.4 – 0)² = 4p (8 – 6)
(-1.4)² = 4p (2)
1.96 = 8p

p = 1.96/8 = 0.245

Retomas la fórmula, y ahora sustituyes el valor de p=0.245; y las coordenadas (h=0, k=6) del vértice.

(X-0)² = (4)(0.245)(Y-6)
X² = 0.98 (Y-6)
X²/0.98 = (Y-6)
(X²/0.98) + 6 = Y

Y entonces… obtienes la -bellísima- ecuación de la parábola… 

♥♥♥♥♥  Y = (X²/0.98) + 6  ♥♥♥♥♥

graf03. Compruebas tu ecuación sustituyendo los valores que tengas de X, incluido el valor h del vértice.

Al sustituir h=0 en la ecuación obtenida quedaría…

Y = (0²/0.98) + 6 = 0 +6 = 6, que es justamente el valor de k.

Al sustituir x=-1.4 en la ecuación obtenida quedaría…

Y = (-1.4²/0.98) + 6 = (1.96/0.98) + 6 = 2 + 6 = 8

Al sustituir X=3 en la ecuación obtenida quedaría…

Y = (3²/0.98) + 6 = 9.18 + 6 = 15.18 Que es aproximadamente la distancia que obtuviste al medir la parte extrema para Y (15.1).

4. Una vez comprobados algunos valores, integras la ecuación obtenida entre los límites: -3≤ X ≤3 Metros.

integral1

Resultando…

integral2

Sustituyes límites…

integral3

Resuelves las operaciones indicadas…

= [9.1836 + 18] – [-9.1836 – 18] = 27.1836 + 27.1836 = 54.3672 Mt²

5. La anterior es la -excelsa- Área TOTAL bajo la curva, a la cual tienes que restarle las “sombras” dejadas para la rodada del automóvil. Así pues tienes que construir otra -grandiosa- integral para calcular el área de una de las sombras… por supuesto que utilizarás la misma función:

Y = (X²/0.98) + 6

graf1Debido a que existe simetría calculas la integral entre los límites: 0.8≤ X ≤1.4 (En la -formidable- aplicación “Mathematics” la calculé a la izquierda. Observa que es el mismo resultado). 

integral4

Al integrar resulta…

integral5

Sustituyes límites…

integral6.

Resuelves operaciones…

[0.933333 + 8.4] – [0.1741 + 4.8] = 9.333333 – 4.9741 = 4.3592 Mt²

Dado que son dos “sombras” multiplicas por dos el área obtenida…

Área de las sombras = (4.3592)(2) = 8.7184 Mt²

6. Ahora bien, para obtener el área buscada tienes que restar al área total el área de las sombras, quedándote…

∴Área buscada = 54.3672 – 8.7184 = 45.6488 Mt²

En mil -hermosas- casas sería:

(45.6488)(1000) = 45,648.8 Metros² de -precioso- mosaico.

Lo anterior es el -hermoso- resultado de tus cálculos, y es lo que tendrías que decirle al -magnifico- Administrador en Jefe del –fastuoso- Consorcio que te contrató, o quizá a uno de los ángeles que trabajan como asistentes del mismo (si ves a ésta me la saludas), pues es el dato que necesita. No obstante en los hechos siempre se desperdicia material, así que seguramente el -distinguido- arquitecto necesitará una cantidad mayor a la que señalaste (un 10-15 por ciento más).

Ahora ve el problema desde otro ángulo. Si tú eres el -millonario- dueño/a del conjunto habitacional entonces ya sabes qué hacer si tu -fabuloso- arquitecto te dice que necesitará 90,000 Mts² de mosaico, que sería el resultado simple de multiplicar el ancho por el largo de la cochera. (6Mts)(15Mt.)(1000 casas).

Que tengas -dulces- sueños.


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3 responses

19 10 2015
Carlos Àngel Patricio Martìnez

Es grandioso la labor que realiza en este BLog Ingeniero, siempre encontrando las aplicaciones de las benditas matemáticas en la vida cotidiana. En lo personal esa forma tan de usted me agrado mucho cuando fue mi profesor de matemáticas (usted hizo que les tomara un amor fenomenal).
¡Siga así, formando a buenas personas conocedoras de las matemáticas!
Saludos Ingeniero.
……………

Hola Patricio…
Me da gusto saludarte, y espero que estés bien en todos los ámbitos de tu vida.
Estoy seguro que en la esfera académica sigues manteniendo el ritmo, preparándote lo mejor posible para enfrentar la vida. Tienes mucho a favor en tu persona, en tu manera de ser, notable sin duda alguna.
Te envío un fuerte y cordial abrazo.
Ing. I. Guerrero Z.

19 10 2015
ING. CARLOS PORTER

OTRA MANERA DE SACARLO, MÁS ENFOCADO A LA CONSTRUCCIÓN ES CON CAD SACO ESA ÁREA EXACTA PERO DEVIDO AL DESPERDICIO POR LOS CORTES POR EL HABILITADO DE LAS CURVAS TOMARÍA GEOMETRIAS MAS SENSILLAS COMO UN RECTANGULO Y EN BASE AL DESPERDICIO QUE SE PRODUJO EL HACER LA CASA MODELO AJUSTARÍA EL VALOR DEL DESPERDICIO DE MARMOL A ULTILIZAR EN TOTAL. ESPERO NO OFENDER ES SIMPLEMENTE UN ENFOQUE DE COMO LO HE REALIZADO YO.
……………………

Hola Ing. Porter…
Gracias por aportar más soluciones colega, al hacerlo amplías la visión del estudiante.
Ahora bien, si de soluciones alternativas se trata, no tengo la menor duda de que un albañil con cierta experiencia bien podría sorprendernos a los dos con alguna solución aproximada para el mismo problema sin tantos números ni símbolos “raros” para él, pero… no hay que perder de vista que el punto importante es que el alumno aprenda cómo hacerlo aplicando el Cálculo Integral, ya que en todo esto está en juego la exactitud de la solución.
Por otra parte ampliando todavía más la visión del estudiante, hay calculadoras graficadoras (por ejemplo: Casio) que pueden determinar tanto la ecuación como el área bajo la curva a partir de enfocarlas en la figura,
Un abrazo cordial.
Ing. I. Guerrero Z.

19 10 2015
jonathan

lo admiro ingeniero ,lo hace ver tan facil!! saludos y yo pues a seguirle estudiando para un dia no muy lejos parecer a usted,,saldss dsd monclova coahuila.
………………..

Hola Jonathan…
Gracias por comentar.
En realidad el Cálculo Integral no es complicado de entender, el problema está en la “manipulación” algebraica que a veces tienes que hacer en las ecuaciones, y también en determinar la ecuación a integrarse.
Te envío un abrazo cordial.
Ing. I. Guerrero Z.

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