Tópicos de Cálculo Integral.

Tema 16. Volúmenes aplicando Cálculo Integral.

«Junior», y su aventurada idea de llenar la alberca de su casa.

Previo a un fin de semana, «Junior», el chico más «fresón» de la ciudad, invitó a sus amig@s a una «albercada» en casa de sus «papis». Unos días antes del evento vació la alberca para limpiarla cumpliendo así con la condición impuesta por sus padres para permitirle su «fiestecita». Terminó de asearla y cuando todo estaba listo para llenarla ¡que pena!, el suministro de agua potable ¡falló! y peor aún, se enteró de que no habría agua en una semana, así que sus planes ¡que triste! se vinieron abajo. No obstante como «Junior» es necio y presumido se le ocurrió llenarla contratando pipas para transporte de agua, las cuales cuando preguntó a una empresa dedicada a esos menesteres le dijeron que cada una (de 15,000 Litros) tenía un costo de $500.00.

Si «Junior» decidiera hacerlo, ¿Cuánto dinero gastaría?.

Para saber cuánto dinero gastaría en llenar la alberca, obvio, primero necesitaría conocer el volumen del agua que requeriría, y como ésta está vacía a «Junior» no le sería complicado tomar las medidas que quisiera para determinarlo, peroooo… ¡caray! como nunca hizo caso a sus profesores de matemáticas que se reventaban el cerebro tratando de enseñarle áreas y volúmenes, a quienes les decía: «O seeeaaa teacherrr ¡Equis voy a necesitar esoooo!, yo voy a ser chef con maestría en bananas fry». (Traducción: «Junior» quiere ser un cocinero experto en plátanos fritos). Por eso no sabe cómo hacerlo. Y ¡Uf!, para acabarla de amolar, la alberca tiene una protuberancia cerca del centro parecida a «las curvas de Ninel (aquí puedes verlas)«, que se extiende a todo lo ancho de la misma, la cual pretende evitar que los que no saben nadar se pasen a la zona más profunda y se ahoguen. Así pues, en este caso el cálculo del volumen no es tan sencillo pues la forma física de la alberca es parecida a un cubo (Largo por Ancho por Alto), pero la curvatura «hace mosca».

«Junior» reflexiona… – O seeeaaaa… ¿Qué hago?, ¿contrato pipas sin importar «varo»?, ni idea de cuántas serán, probable unas six o seven… Total, gastar tres o cuatro «varo-grande» de la mesada que me da mi súper-papi rico-rico cero me importan con tal de que mis amixis sepan que soy hiper-mega-buenísima onda. Peroooo… nnnaaahhh… «open mind», le daré oportunidad a algún neeerd que me diga cuánto dinero gastaría en llenar mi piscina-water.

«Junior» hace memoria y recuerda que entre sus amigos de «Facebook» están Juan, Alejandro, Ricardo y Enrique («Kike» para sus amigos), cuatro estudiantes famosos en la escuela por haber resuelto problemas reales de matemáticas aplicadas, y además uno de ellos es un cantante repentino. Les envía un mensaje en su IPhone de última generación, les comenta el problema y quedan de verse por la tarde.

Tic-tac, tic-tac. El tiempo sigue su marcha inexorable.

Por la tarde llegaron los cuatro alegres compadres a la casa de «Junior» y después de que éste les preguntara si se habían limpiado las suelas de sus zapatos en el tapete persa de la entrada para no ensuciar su casa, todos se dirigieron a la alberca.

Juan «seccionó» la alberca en tres partes. La primera a la izquierda llega hasta donde inicia la «joroba», la segunda abarca toda la curvatura, y la tercera comprende el resto de la alberca colocado a la derecha.

El primer y el tercer volumen son sencillos de calcular (fueron «pan comido» para los cuatro amigos) ya que hicieron simples multiplicaciones.

1er. Volumen = (13)(1.66)(8) = 172.64 Mt³.
3er. Volumen = (10)(5.12)(8) = 409.6 Mt³.

Luego, para encontrar el segundo volumen el pequeño grupo hizo una serie de mediciones en la alberca y algunas operaciones que le parecieron extrañas a «Junior», llenas de símbolos raros, el cual les resultó de:

2do. Volumen = 114.52 Mt³.

Por lo que al sumar los tres volúmenes obtuvieron: 696.76 Mt³.

Ahora bien, si cada Metro cúbico tiene 1,000 Litros de agua, entonces se requerirían 696,760 Lts. para llenar la alberca, los cuales divididos entre 15,000 Litros que trasportaría cada pipa darían un total de 46.45 pipas, es decir, recortando el número, serían 46 pipas.

-En total serían 46 pipas mi estimado «Junior» -Dijo «Kike».

-¿Whattttt?, O seeaa ¿Quéeeeeeee? ¡Júramelo «Weee»!.. -Replicó «Junior». -¿46 pipas?, ¿Por qué tantas? -Preguntó sorprendido, y agregó… -«Que oooossssooo «weee»», yo pensaba que cuando mucho serían unas «seven-eleven».

-¡Cómo crees!. -Señaló Juan. -Con siete pipas de 15,000 Lts. si acaso haces un chapoteadero. -Luego agregó.

-46 pipas de agua a $500.00 cada una, dan un total de: $23,000.00 pesillos. ¿Cómo ves? ¿Poco para ti, o no mi estimado «Junior»?…

«Junior» cabizbajo pensó…

¡Noooo bueeeeno!… I «loviu» my Friends, stá claro, pero, pero, pero peroooooo… ¿gastar 23 varo-grande sólo por ser hiper-buenísima onda con ellos?. ¡¡Nahhh!! ¡Hellow Junior!, «¡Stop!, ¡Semáforo in red!», eso es más que un «IPhone-plus» de dos cincuenta y seis «Gigas» con dos micas de regalo. Naaaahh… «Xsss», mejor que mis «amixisss» esperen al otro «finde» a ver si el proletariado ya restableció el suministro de agua, y si no, pues… «forever-and-ever»,  «hay» a ver cuándo….

Luego volteo a ver a los cuatro jóvenes y les dijo…

-«Sasss» queee… seriiiioooo weeee…. ustedes valen miiiillll, netooooo weeee… son la luz. Yoooo ni idea weeee, por poco meto el mocasín contratando esos tinacos ambulantes sin saber cuánto «varo» gastaría, perooooo… ¡bueníiiisima onda!, llegaron ustedes, mi ejército celestial de angelitos guardianes buena onda y salvaron » my-life», o sea mi vida weeee…. Thank you, thank-you, thank-you,-forever, por darme luz en las tinieblas de mi «fresh-life». Están brillando en sociedad amiguitos, never-change ehhhhh, o sea, nunca cambien, son lo PRO, la más plus-ultra maravilla. -Y agregó…

-Bueno amiguitos, cambio y fuera, el súper muñeco de mi mami, o sea yoooo, va a «resetear» su cuerpecito con un buen «drimer», antes de partir en su nave al antro más «very-nice» de la ciudad. Ya pueden omitirse de «my-house». Que la Madonna y el Cristo redentor estén con ustedes ehhh, es tiempo de hacer clic y difuminarnos como en Photoshop. !Chausitooo! que su Dios los cuide… ¡¡¡¡Bye!!!. 

-¿Cómo que gracias y adiós mi estimado «Junior»? -Dijo «Kike». -Toda consulta causa honorarios. Son mil «varillos» por los cálculos.

-¿Quéeeeee quéeee?, o sea ¿what hapenddd?, -Exclamó «Junior» sorprendido nuevamente. –¿Tienen viaje a Disneylandia a ver a no «maus» Miky o quéeee?. Me agobiannn,. ¿Me van a cobrar «varo» por darles chance de venir a mi swimming-pool a practicar con esas curiosas culebritas (integrales) en su cuaderno ssscribeeee?. Que nefasto weeee… Estoy asíiii de colapsarrrr. ¿Qué no somos «amixisss»?.

-Claro que sí mi estimado «Junior» somos amigos, pero por si no lo sabías los cuatro formamos una empresa de asesorías en cálculos matemáticos y cobramos por consulta, así que… «bisness son bisness» mi querido «Junior».

-¡Uhhhh! Que mal gas. Eso me hubieran dicho antes weeee…..

-Es que, tampoco preguntaste. -Replicó Alejandro en tono poco amable.

-Ok, ok, ok… ¡Que Grinch!, «peace and love» aquí está el varo.

-Dámelos a mi. -Dijo Ricardo. -Yo soy el tesorero de la empresa, encargado de administrar correctamente los recursos que obtenemos, no sea que estos chicos sanos, de buenas costumbres, voluntariosos y muy recatados, se gasten el dinero en limosnas y en «lucecitas» de navidad.

Después de irse los cuatro felices emprendedores con sus mil «pesotes» en la bolsa, «Junior» pensó ….

-Queeee malíiiisima onda. Total que mi idea de llenar mi súper-piscina con pipas de agua, resulta ser costosaaaa, y además estos angelitos del avernoooo por más que activé al cien mis súper-neuronas haciéndoles un «coco-wash» dándoles el «avionazo» y poniéndolos al nivel de mis estrellas favoritas, de todos modos pasaron a bailarme con mil varos, pero… «chido tu perfume avón weeee»… «tú nerd, yo fresh and cool», van a ver… cuando sea la «party» ceeeero los voy a invitar, se quedarán con las ganas de ver a la «chiquissss», la «flays», la «niki», y mis otras «guaperrimas amixisss» en bikini…. Y además…. «cómprate un tejuino y me guardas los yelitos weee», para que se les quite… los voy a cancelar del «Feis», y para que les duela más de una vez los voy a dar de baja del «Whasapppp».

«Junior» sacó su IPhone de última generación, lo prendió y vio cuatro notificaciones de salida de su grupo de amigos del Whatsapp. El Facebook ya ni lo revisó. 

Moraleja… la arrogancia tiene sus descalabros emocionales y económicos, y también sus límites.

Ahora bien, la pregunta es: ¿Cómo hicieron el cálculo del segundo volumen?.

Evidentemente se apoyaron en el Cálculo Integral.

Primero utilizaron su celular con una aplicación (nivel de burbuja: bubble level) para determinar el punto más alto de la curvatura. Una vez que lo ubicaron trazaron un eje vertical (Y), colocándolo en forma perpendicular al borde la alberca al cual consideraron como si fuera el eje X. Cabe mencionar que aunque hubiesen puesto el eje Y en otro lugar, pero habiendo tomado correctamente las medidas, igual resultaría bien el cálculo.

Trazaron dos rectas verticales una en el punto más bajo de la curva, obteniendo: 5.12 Metros (lo más profundo de la alberca), y otra en el menos bajo obteniendo: 1.66 Metros. A partir de las dos medidas anteriores obtuvieron las medidas 2, y 5 para el eje X en relación al punto de origen del sistema coordenado, es decir del punto que determinaron a partir de la primera recta vertical que trazaron (Eje Y).

Supusieron que se trataba de una Parábola, obtuvieron la distancia en Y del vértice al origen del sistema coordenado, por lo cual el Vértice de la parábola quedó en: V(0, -1), y uno de sus puntos Q(-2, -1.66). Todo ello referenciado a ambos ejes del sistema coordenado.

Debido a que la «Parábola» se abre hacia abajo, para determinar la ecuación que rige la curva utilizaron la «fórmula» (https://iguerrero.wordpress.com/2009/12/10/topicos-de-geometria-analitica-36/):

(x-h)² = – 4p(y-k)

También llamada Forma Ordinaria de la Ecuación de una Parábola.

Sustituyeron los puntos anteriores V y Q, quedándoles….

(-2 – 0)² = -4p[-1.66-(-1)]
(-2)² = -4p(-1.66+1)
4 = -4p(-0.66)
4 = 2.64p
∴ p = 4/2.64 = 1.5151

Retornaron a la fórmula para sustituir el valor de p junto con los valores de h y k, quedándoles…

(x-0)² = -4(1.5151)[y-(-1)]
x² = -6.06060(y+1)
-x²/6.06060 = y+1

∴ y = -(x²/6.06060) -1

Que es la ecuación de la Parábola, misma que comprobaron haciendo lo siguiente..

Al sustituir el valor h en la ecuación obtuvieron en valor de k, es decir…

y = -x²/6.06060 -1 = -[(0)²/6.06060] -1 = -1. Justamente -1 es el valor de k.

Después al sustituir la coordenada X=-2 del punto Q, obtuvieron:

y = -(-2)²/6.06060 -1 = -0.66 -1 = -1.66 Que es justamente el valor de Y que ya conocían.

Pero más allá hay otro punto P(5, -5.12), el cual al sustituir la coordenada X=5 en la ecuación les dio…

y = -(5)²/6.06060 -1 = -4.12-1 = -5.12 Con lo cual comprobaron que efectivamente se trataba de una Parábola.

Ahora bien, los límites para calcular el área sobre la curva y así, a partir del área obtener el volumen, son precisamente las coordenadas que hay en el eje X partiendo del origen del sistema coordenado hacia la izquierda y hacia la derecha, es decir: -2≤x≤5. Así pues la integral les quedó de la siguiente forma…

Resolvieron la integral…

= (-6.875 – 5) – (0.44 + 2)

= -11.875 – 2.44 = -14.315 Mt²

Les resultó un área negativa, y ello es porque el área está bajo el eje de las X’s, lo cual no importa porque lo que interesa es la cantidad de metros cuadrados que existen en tal espacio. Observa que se obtiene lo mismo resolviendo el problema «a pie» o utilizando la aplicación Android «Matemáticas», la cual puedes emplear para comprobar tus cálculos en el papel.

Así pues… 14.315 multiplicado por los 8 Metros de ancho de la alberca dan un total de 114.52 Metros³

Es así como los cuatro alegres compadres encontraron el Volumen desconocido.

Este post está dedicado a mis cuatro jóvenes alumnos del 5° «D» de la especialidad de Electricidad del CBTis No. 70, en la Asignatura de Cálculo Integral, quienes además de resolver el problema, construyeron un modelo a escala para comprobar sus resultados. ¡Felicitaciones!.