Tópicos de Geometría Analítica.

10 12 2009

Tema 25. Parábolas con vértice fuera del origen.

A diferencia de las Parábolas con Vértice en el Origen las cuales solo pueden abrirse hacia cuatro lados (por lo menos las más simples), desde el punto de origen de cualquier sistema coordenado cartesiano, el resto de parábolas pueden estar colocadas en cualquier lugar del mismo, pero igual que las otras se abren hacia cuatro lados (arriba, abajo, derecha e izquierda), a éstas últimas se les designa con el nombre de  Parábolas con Vértice Fuera del Origen.

Don René Descartes decía:

Caso 1. Si la parábola se abre a la derecha se relaciona con la ecuación:

(y-k)2= 4p(x-h)

Caso 2. Si la parábola se abre a la izquierda se relaciona con la ecuación:

(y-k)2= – 4p(x-h)

Caso 3. Si la parábola se abre hacia arriba se relaciona con la ecuación:

(x-h)2= 4p(y-k)

Caso 4. Si la parábola se abre hacia abajo se relaciona con la ecuación:

(x-h)2= – 4p(y-k)

Esta vez será solo teoría.

Veamos un problema…

Sea la ecuación: (y-3)2= – 8(x+2) ¿Qué datos puedes obtener con solo analizar la ecuación?

Solución.

1. La ecuación se “parece” al caso 2, entonces la parábola tiene su Vértice Fuera del Origen y además se abre a la izquierda.

2. La Longitud del Lado Recto (4p) de la parábola es de 8 unidades.

3. La distancia del Vértice al Foco (valor de p) de la parábola es:

|4p|=|8|; p=|8/4|= 2 Unidades.

4. Las coordenadas del Vértice de la parábola son: P(h, k), es decir: P(-2, +3). Son los números que forman un binomio con la X y la Y de la ecuación.

5. Si el valor de p es 2 quiere decir que la parábola tiene su Foco a 2 unidades a la izquierda del Vértice, por lo tanto sus coordenadas serán: F(-4, 3).

6. Igual que el punto anterior, la Directríz estará desplazada a 2 unidades, sólo qué hacia la derecha del Vértice por lo tanto su ecuación será:

X=0, coincidiendo exactamente con el eje Y del sistema coordenado.

Ahora bien, con todos estos datos ya puedes “ver” la gráfica correspondiente la cual sería semejante a la que te muestro arriba.

Pero… ¿A qué conclusión nos lleva todo esto?

La conclusión inmediata es que con solo analizar una ecuación puedes darte cuenta de qué figura se trata, y cuáles son sus características particulares.

Otra forma de saber lo mismo es graficando la ecuación, pero es más sencillo A-NA-LI-ZAR las expresiones, tal es uno de los objetivos de la Geometría A-NA-LI-TI-CA.


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7 responses

21 10 2012
Teresa Sanchez López

hola ing. mi duda es como puedo tabular dicha ecuacin en la grafica para que me de dicha parabola como se tabula como sabes que valores le vas a dar por el lado recto creo pero en si como se tabula que valores le pones ????????????????’
…………

Hola Teresa…
Tabular es darle valores a X´s y obtener con ello valores de Y, ésto para cualquier tipo de ecuación. Los valores que asignas a X´s son arbitrarios es decir: los que se te pegue la gana. Por lo regular (y para casos comunes) los valores de X´s van de -10 a 10, o sea: -10. -9, -8, -7, …. 0, 1, 2, 3, …. 10, aunque a veces dependiendo del caso tienes que dar valores de 10 en 10, o de 0.1, en 0.1, en fin, eso lo aprendes en la medida en que lo practicas.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

23 08 2012
Bibiana silva

Es apasionante el tema de las matematicas, tengo la duda sobre la existencia de el TEOREMA DE VAZGAR, en que consiste y donde puedo consultarlo. Exelente trabajo Ing.

19 11 2012
argus

Existe y lo puedes consultar en el libro de Geometría Analítica de Agustín Vázquez en cualquiera de sus ediciones.

15 11 2011
Pablo Rozo

Buenas tardes, quisiera saber q significa p en y^2=px y en (y-k)^2=4p(x-h)
…………

Hola Pablo…
p es la distancia del vértice al foco de la Parábola.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

6 01 2011
MARY CARMEN

ME PODRIA DECIR MAESTRO CUALES SON LOS PASOS MAS IMPORTANTES PARA REALIZAR UN PROYECTO EL TEMA ES:
PARABOLA CON VERTICE FUERA DEL ORIGEN.
…………..

Hola Mary…
Quizá te refieras a aplicar este tema en algún caso particular, de ser así, te dejo este enlace: https://iguerrero.wordpress.com/2009/07/10/topicos-de-geometria-analitica-5/ pero igual, busca en el resto de los temas las diferentes aplicaciones que hay para las parábolas, te dejo el enlace… https://iguerrero.wordpress.com/category/geometria-analitica/
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

4 01 2011
Alex

Muy buen trabajo Ing.!! Gracias por compartir todos estos conocimientos de forma tan comprensible! tengo una duda: ¿Cómo grafico estas ecuaciones?
………….

Hola de nuevo….
Hay varios temas al respecto, te dejo un enlace: https://iguerrero.wordpress.com/2009/07/29/topicos-de-geometria-analitica-9/
Te recomiendo leer los temas contenidos en: https://iguerrero.wordpress.com/category/geometria-analitica/
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

30 11 2010
hiroshi itikinowa

ps es la mejor respuesta q he encontrado hasta ahorita lo mas desglosado q creo q le puedo entender x q este tema no le entiendo a nada d geometria analitika.
…………

Hola Hiroshi…
Gracias por tu comentario.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

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