Tópicos de Cálculo Integral.

Conclusión del proyecto:

«La Sirena de la alberca».

Nota. Si quieres ver el tema antecedente da un pulso AQUÍ.

El resultado de los cálculos realizados por mis alumnos para determinar el volumen interior de la alberca en su modelo a escala: 2:100 Cm., fue de 2.91 Lts, pero, pero, pero…

¿Y cómo llegaron a ello?

A ver… revisemos el modelo.

Modelo real…

Dividiendo la alberca en zonas quedan seis secciones y el volumen total del agua que le cabe es precisamente la suma de todas.

Modelo a escala… 2:100 Cm. 

SOLUCIÓN.

Las zonas 1, 3 y 6 son figuras geométricas simples similares a un cubo de las cuales su volumen se determina multiplicando sus lados.

Zona 1

Vol=(14)(8)(3)=336 Cm³

Zona 3

Vol=(14-2)(6)(3)=216 Cm³

Zona 6

Vol=(14-2)(8)(10)=960 Cm³

Zona 4

Esta zona, vista lateralmente, es un trapecio cuyas medidas son:
Base Mayor (B)=10 Cm; base menor (b)=3 Cm; y Altura (h)=6 Cm.

Aplicando la fórmula (área de un trapecio): A=(h)(B+b)/2; quedaría…

A=(6)(10+3)/2=39 Cm²

La cantidad anterior multiplicada por el ancho de la alberca permite obtener el volumen.

Vol=(39)(14)=546 Cm³

Zona 2

Vista desde «arriba» la Zona 2, contiene una parábola de la cual puede obtenerse el área «bajo» la misma aplicando cálculo integral.

Peroooo…. ¿Y cuál es la ecuación de la parábola?

Como ya sabemos el cálculo integral «no funciona sin función», así que lo primero que haremos es determinar la ecuación particular de la parábola, para lo cual hacemos lo siguiente. Posicionamos un sistema coordenado cuyo punto origen esté precisamente en uno de los bordes de la alberca (el que está al frente de la parábola). Cabe mencionar que si el sistema coordenado se colocara en otro lugar el resultado sería el mismo, siempre que -por supuesto- se respeten las medidas señaladas.

Tenemos pues, tres puntos, cuyas coordenadas se indican en la siguiente figura (Clic encima para ampliarla), los cuales al utilizar una de las «fórmulas» de la parábola nos permitirán obtener un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Y=aX²+bX+c

Nota. ¿En lugar de la fórmula anterior podría utilizarse la correspondiente -forma ordinaria de la ecuación de la Parábola: (x-h)²= 4p(y-k)– aplicada cuando se conocen las coordenadas de un punto y el vértice de la parábola?. Sí, puede utilizarse, pero es más exacta la fórmula: Y=aX²+bX+c. debido a que P₂(4,10) no coincide exactamente con el vértice de la parábola. Por otra parte, nunca debe darse por sentado que la ecuación de la parábola en su forma ordinaria resolverá todos los problemas de ecuaciones de parábolas, pues no todas son iguales, unas se abren más en relación a su vértice, que otras. Así pues, para mayor exactitud sustituiremos cada par de coordenadas en la fórmula mencionada.

Entonces…. sustituyendo P₁(X₁=6; Y₁=12) quedarían…
12=a(6)²+b(6)+c. … 12=36a+6b+c; A la que llamaremos Ecuación 1

Hacemos lo mismo con los puntos: P₂ y P₃
10=a(4)²+b(4)+c. … 10=16a+4b+c Ecuación 2
14=a(0)²+b(0)+c. … 14=0a+0b+c Ecuación 3

Observamos que la ecuación 3 nos da directamente un valor para una de las incógnitas: c=14

Tenemos pues, un sistema de ecuaciones lineales.

36a+6b+c=12… Ec.1
16a+4b+c=10… Ec. 2
c=14… Ec. 3

Si «trabajamos» las ecuaciones 1 y 2, sustituyendo el valor de «c» y multiplicando la segunda por -1.5, de esta manera podremos eliminar otra variable. Hagámoslo…

16a+4b+14=10
16a+4b=10-14
16a+4b=-4 (multiplicándola por -1.5 quedaría)
-24a-6b=6

Ahora hagamos lo propio con la ecuación 1.

36a+6b+14=12
36a+6b=12-14=-2

Así pues tenemos dos nuevas ecuaciones:

36a+6b=-2
-24a-6b=6

Al sumarlas se elimina «b» quedando…

12a=4
a=4/12=1/3

Entonces, si ya tenemos el valor de «a» y de «c» simplemente los sustituimos en la ecuación 1 o 2 (la que sea) y obtenemos el valor de «b». Hagámoslo en la ecuación 2…

16(1/3)+4b+14=10
16/3+4b=10-14
4b=-4-16/3
4b=-(12/3)-(16/3)=-28/3
b=(-28/3)/4=-7/3

de esta forma: a=1/3; b=-7/3; y c=14

Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación de la parábola: Y=aX²+bX+c; quedaría…

Y=(1/3)X²-(7/3)X+14

Siendo ésta la ecuación de la parábola de la zona 2 de la alberca (las dos parábolas son iguales, lo que es distinto es la profundidad de la alberca).

Entonces a partir de la ecuación de la parábola podemos construir nuestra integral y determinar así el área bajo la curva, la cual posteriormente multiplicaremos por la profundidad de la alberca en cada caso obteniendo así el volumen de las zonas 2 y 5

Como puede verse en la figura los límites para la integral serán 0 y 6, por lo tanto quedaría…Resolviendo…

Multiplicando el área obtenida por la profundidad de la alberca en la zona en la que se encuentra cada parábola quedarían:

Zona 2

Vol=(66)(3)=198 Cm³

Zona 5

Vol=(66)(10)=660 Cm³

De esta manera ya tenemos todos los volúmenes de las diferentes zonas, entonces sólo queda sumarlos.

Volumen Total=Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=336+198+216+546+660+960

Volumen Total = 2916 Cm³

El cual convertido a Litros es:

Litros = 2916/1000 = 2.916 Lts.

Para la alberca REAL se realiza un procedimiento similar (te lo dejo de tarea Lector/a).

Y para cerrar con «broche de oro» este «peliagudo» tema, veamos y escuchemos el video-proyecto de poesía «La Sirena de la Alberca», declamada por el famoso gato Tom, realizado por alguien que no tenía quehacer ¡Ja!

(Advertencia: si eres hipermegasensible no lo veas).