Tópicos de Cálculo Integral.

13 09 2016

Tema 17. Aplicaciones del Cálculo Integral.

Cálculo Integral aplicado al interior de la escuela. (Sólo para demostrar que los resultados de la aplicación del Cálculo Integral y la matemática tradicional coinciden en problemas simples).

Sea la rampa de mi escuela…

rampa1

…bajo la cual hay una pequeña oficina, fría en temporada de invierno y un horno en tiempo de calor. El caso es que hay que determinar su Volumen aplicando las matemáticas clásicas, y después hacer lo mismo pero aplicando Cálculo Integral, lo cual por supuesto, en ambos casos debe arrojar el mismo resultado.

Después de hacer las mediciones correspondientes la siguiente imagen muestra la “traducción” al lenguaje matemático a partir de todo el conjunto, dicho de otra manera es el modelo matemático correspondiente al problema.

(Crece la imagen dando un Clic encima de ella).

oficrampa

Solución 1. Aplicando Matemáticas Clásicas.

Primero calcularemos el Área del trapecio que forma el frente de la oficina, después multiplicaremos el resultado por el ancho o profundidad de la oficina (es el ancho de la rampa) para obtener así el Volumen buscado.

Para determinar el Área utilizaremos la fórmula correspondiente a un trapecio:

formula-para-area-de-trapecio

En donde…

A. Es el área del trapecio en metros cuadrados.
h. Es la altura del trapecio.
B. Es la base mayor.
b. Es la base menor.

Sustituimos datos en la fórmula…

Área = h(B+b)/2 = [(3.5)(2.26+1.72)]/2 = 6.965 Mt²

Una vez obtenida el área del trapecio la multiplicamos por el ancho de la rampa (2.09 Mts.).

————————————-.
Volumen = (6.965)(2.09) = 14.55 Mts³
————————————-

Con lo cual en menos tiempo del que tardas en irte de la escuela cuando… ¡¡¡¡Yujuuuu!!!! hay una ¡¡¡fabulosa suspensión de clases no prevista!!!, llegamos a la solución del problema por la vía de las matemáticas comunes.

Todo bien hasta aquí, ahora hagámoslo de la segunda forma. 

Solución 2. Aplicando Cálculo Integral.

Primeramente debemos conocer la ecuación de la recta que pasa por encima del borde superior de la oficina. Obvio tendrás que basarte en la viga metálica que está encima de ella. En el piso colocaremos el eje X’s de un sistema coordenado cartesiano imaginario, cuyo punto origen coincidirá con el inicio de la rampa (igual puedes colocarlo en donde se te pegue la gana, y mientras hagas las mediciones correctas el resultado será el mismo, “mesmamente”).

Para determinar la ecuación de la recta necesitamos conocer el valor de su pendiente (m), y las coordenadas de uno de sus puntos. En este caso tenemos dos puntos: P1(9.81, 1.72) y P2(13.31, 2.26), los cuales nos permitirán obtener la pendiente y posteriormente la ecuación buscada. La fórmula que permite conocer m es:

pendiente

Sustituimos datos:

P1(9.81, 1.72) y P2(13.31, 2.26)

m=(y2-y1)/(x2-x1)=(2.26-1.72)/(13.31-9.81)=0.54/3.5

Así pues resulta que: m=0.15428

Sustituyendo el valor de m, y las coordenadas del punto P1 en la fórmula para determinar la Ecuación Ordinaria de una recta, quedaría:

ecn-ordinaria-de-la-recta

y-1.72 = 0.1542(x-9.81)
y-1.72 = 0.1542x-1.51354
y =0.1542x-1.5135+1.72, por lo tanto la ecuación de la recta es:

y=0.1542x+0.2064

Entonces, teniendo la ecuación de la recta podemos “construir” la integral respectiva y limitarla en X’s justamente con las coordenadas que obtuvimos en las mediciones realizadas y que corresponden a la oficina respectiva:

integralrampa

9.81 y 13.31 son los dos límites que tiene X’s. Dicho de otra forma: 9.81 ≤ x ≤ 13.31 que corresponden precisamente al espacio que ocupa la mencionada oficina (la diferencia entre estos dos datos son los 3.5 Mts. que corresponden al ancho del frente de la oficina).

Integramos…

integralrampa2

Así pues, el área de trapecio es de 6.9613 M², por lo tanto el Volumen será de:

————————————-
Volumen = (6.9613)(2.09) = 14.54 Mt³
————————————-

Tenemos entonces que hay una ligera diferencia de una centésima en los resultados de ambos procedimientos, lo cual se debe por supuesto a que a veces al realizar las mediciones en lo físico no son tan precisas como se quisiera por las irregularidades de los cuerpos o del terreno.

Pero, pero, pero… como dicen por ahí… ¿Para qué tanto brinco estando el suelo tan parejo?, ¿Qué caso tiene aplicar este proceso de Cálculo Integral si con la matemática tradicional puedes resolver el problema fácilmente?.

Bueno… recuerda que este ejercicio es solo para comprobar que ambos procedimientos coinciden en sus resultados. Por otra parte, si siempre se tratara de calcular áreas bajo rectas entonces no habría necesidad de aplicar el Cálculo Integral, el problema está en las curvas, y no precisamente en las de Kim Kardashian, (da un clic AQUÍ si quieres verlas), sino en las que se forman a partir de procesos en las industrias, de áreas, de volúmenes, de sólidos en revolución, etc., que son casos en los que las matemáticas clásicas simplemente NO FUNCIONAN.

logo blanco


Acciones

Information

One response

13 09 2016
Raul

Excelente trabajo y las curvas mejores jaja
Gracias por compartir estos temas

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s




A %d blogueros les gusta esto: