Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 17. Perpendicularidad entre dos rectas.

Actualización: Septiembre 06 de 2009
Fecha de publicación inicial: Septiembre 13 de 2007

Iniciemos nuestro estudio igual que lo hicimos en el tema anterior, determina la gráfica de las siguientes ecuaciones.

Y=-2X+1
Y= (1/2)X-3

Al graficarlas obtendrás algo semejante a lo que ves en la imagen de al lado. Ahora a-na-li-ce-mos lo que obtuviste.

¿Qué observas en la gráfica?
¿Las rectas se cruzan formando ángulos de 90º? Puedes medir con tu transportador.

Analizando las ecuaciones de las cuales se originaron ¿observas algo similar en ellas? Olvídate del tres y del uno, atiende solamente a los coeficientes de la X (el número que la acompaña). Tienes que encontrar una relación entre los dos números.

Antes de dar un “Clic” en Leer el resto de esta entrada… debes haber encontrado algo que es común en ambas ecuaciones.

Del análisis del par de ecuaciones debiste haber determinado lo siguiente.

1). Los coeficientes de X son inversos.
2). Los coeficientes de X tienen signo contrario.

Cuando dos ecuaciones escritas de la forma: Y=mX+b tienen el coeficiente de X inverso y de signo contrario, representan a dos rectas perpendiculares entre sí. Ahora bien ¿es suficiente con el análisis que hiciste?

A mi juicio sería suficiente con un buen a-ná-li-sis, sin embargo no nos quedaremos ahí y comprobaremos lo que descubriste.

Pero… ¿Cómo hacerlo? ¿Cómo comprobar que efectivamente descubriste una propiedad entre dos rectas?

Lo comprobaremos de la siguiente manera (no es la única forma de hacerlo).

Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 16. Paralelismo entre dos o más rectas.

Actualización: Septiembre 2 de 2009
Fecha de publicación inicial: Sept. 12 de 2007

Iniciemos nuestro estudio con un problema.

Grafica las siguientes rectas: Y=2X-1; Y=2X+3; Y=2X+7

De los valores que asignes a X -independientemente de cuales sean- resultarán rectas similares a la gráfica de al lado.

Estamos en Geometría A-na-lí-ti-ca, de tal manera que al a-na-li-zar la gráfica obtenemos las siguientes conclusiones.

1. Observa que una recta cualquiera de las tres, siempre conserva la misma distancia (separación) respecto de las otras dos, esto nos lleva a la siguiente conclusión elemental (que ya debías conocer con anticipación): dos rectas que son PARALELAS no se cruzan jamás.

2. A partir de la gráfica puedes ver que dos rectas PARALELAS entre sí, tienen sus ángulos de inclinación (a) exactamente iguales respecto al eje de las X, o si quieres respecto al eje de las Y.

3. Otra conclusión sería: en dos o más rectas PARALELAS las pendientes son exactamente iguales, es decir que: m₁=m₂=m₃

Este último dato debes conservarlo en tu memoria, porque te va a servir más adelante.

Ahora retrocede hasta las ecuaciones de las cuales obtuviste su gráfica y busca algo común en las tres que a don René Descartes le llevó un buen tiempo descubrir.

Trata de descubrirlo antes de darle un «clic» a:

Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 15. Distancias en un Sistema Cartesiano.

Distancia entre dos personas, objetos, cosas o puntos ubicados en un Sistema Coordenado Cartesiano, Coplanar, Rectangular, Bidimensional, etc.

Actualización: Agosto 31 de 2009
Fecha de publicación inicial: Sept. 10 de 2007

Pero, ¿acaso la Geometría Analítica fue inventada solo para resolver problemas de gasolineras y posición de automóviles como en el tema anterior? Además ¿solo sirve para medir distancias en sistemas rectilíneos?

Es obvio que no.

Veamos posiciones de objetos por ejemplo en un salón de clases.

Supón que estás en un aula. En el piso puedes dibujar perfectamente un Sistema Coordenado Cartesiano, además coloca unos mesa-bancos en diferentes lugares (si tú lector/a eres profesor/a, lo puedes hacer físicamente poniendo alrededor del aula a la mayoría de estudiantes y colocando a algunos en el espacio restante del centro para medir distancias entre ellos).

Entonces tienes una situación física que puedes convertir a una situación matemática dibujando un Sistema Coordenado Cartesiano como en la figura de al lado.

Ahora calcula la distancia que hay entre los dos mesa-bancos indicados con color amarillo. Considera que cada cuadro del piso tiene lados de 1 Metro.

Aplicando la fórmula de la distancia:

d = √(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²

d= √(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²
d= √(4.5-(-3.5))²+(2.5-(-1.5))²
d= √(4.5+3.5)²+(2.5+1.5)²
d= √(8²+4²)
d= √(64+16)
d= √(80)
d= 8.94

Diviértete un rato, calcula otras distancias.

1). Procede a calcular la distancia para cada par de colores existentes en el gráfico.
2). Considera que cada espacio, segmento o cuadro mide 60 centímetros por lado y calcula la distancia en cinco casos.

Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 14. Distancias en un Sistema Rectilíneo.

Actualización: Agosto 25 de 2009
Fecha de publicación inicial: Sept. 08 de 2007

Distancia NO DIRIGIDA entre dos objetos, cosas, personas, o puntos ubicados en un sistema rectilíneo.

Para saber la distancia que hay entre dos puntos colocados en un sistema rectilíneo, simplemente se restan la coordenada final menos la coordenada inicial.

Matemáticamente:

d =│X₂-X₁│

Que se lee: la distancia no dirigida entre dos objetos es igual al valor absoluto de la diferencia entre sus dos coordenadas.

Ejemplo.

Un auto que va por una carretera está a una distancia de 6 kilómetros en línea recta respecto de una gasolinera, mientras que otro está colocado solo a 2 kilómetros de la gasolinera por la misma carretera. ¿Cuál es la distancia entre ambos automóviles?

Al contar los segmentos entre ambos automóviles se da uno cuenta inmediatamente que la distancia es de 4 Kilómetros. Todo se reduce a colocar los objetos (en este caso autos) en el lugar correspondiente en un Sistema Rectilíneo.

Sin embargo otro procedimiento implica utilizar la fórmula: d =│X₂-X₁│ de la siguiente forma.

Primero hacemos: X₁=2 y X₂=6; entonces: d =│X₂-X₁│=│2-6│=│-4│= 4

El resultado es el mismo…

Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 13. Dos caminos que se cruzan (rectas que se intersectan).

2da. Actualización: Septiembre 03 de 2009
1ra. Actualización: Octubre 06 de 2008
Fecha de publicación inicial: Septiembre 05 de 2007

Un problema físico y dos formas de resolverlo.

Dos autos conducidos a toda velocidad por dos cafres del volante transitan por dos tramos rectos de carreteras distintas, su trayectoria está representada por dos rectas cuyas ecuaciones son:

Y=2x+1
Y=-x+4

Las preguntas son:

1). ¿Existe alguna posibilidad de choque y en que punto?
2). ¿Cómo se llamaban los conductores de ambos autos?

Primera solución. Graficando ambas ecuaciones.

Asignamos valores arbitrarios (los que se te pegue la gana) a la variable independiente (x) de la primera ecuación, por ejemplo: 0, 1, 2

Y=2(0)+1=1

Y=2(1)+1=3

Y=2(2)+1=5

Por lo tanto las coordenadas de los puntos resultantes (x, y) son: (0, 1); (1, 3); (2, 5).

Haciendo lo mismo con la otra ecuación:

Y=-x+4 Por ejemplo: 0, 1, 2, 3, y 4

Y=-x+4=-(0)+4=4; Y=-(1)+4=3; Y=-(2)+4=2; Y=-(3)+4=1; Y=-(4)+4=0

Por lo tanto las coordenadas de los puntos resultantes (x, y) son: (0, 4); (1, 3); (2, 2), (3, 1); (4, 0)

Resultando una gráfica como la de la figura de arriba, en donde podemos observar que las rectas se cruzan en Pc(1, 3). Observa que en ambas ecuaciones si x=1, resulta y=3.

Segunda solución. Resolviendo ambas ecuaciones aplicando uno de los métodos algebraicos conocidos: Reducción, igualación, sustitución y/o determinantes. Apliquemos uno ¿Cuál? El que recuerdes.

Tenemos un par de ecuaciones, para resolverlas, es decir, conocer los valores de X e Y, apliquemos el método de Igualación.

Y=2x+1
Y=-x+4

Igualándolas…

Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 12. Tres problemas clásicos de la G. Analítica.

Actualización: Agosto 20 de 2009
Fecha de publicación inicial: Agosto 31 de 2007

Tercer problema.

Cálculo de la ecuación de una recta tangente a la circunferencia, conocidas las coordenadas del punto de tangencia y del Centro de la circunferencia.

Sean los puntos: Q(3, 4); P(5, 2); Centro y un Punto por donde pasa la recta tangente a la circunferencia. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto indicado P.

Análisis.

Para determinar la ecuación en la forma ordinaria de una recta como debes recordar (Tema 6) (Tema 7) se utiliza la expresión: y-y₁=m(x-x₁). Esta fórmula requiere del conocimiento de las coordenadas de un punto y la pendiente (M) de la recta de la cual se va a determinar su ecuación.

El punto de la recta es justamente: P(5, 2); así que solo falta conocer la pendiente de la misma.

Para determinar la pendiente de una recta se necesita conocer dos de sus puntos entonces la solución del problema se trunca por ese camino puesto que solo conocemos uno (P). Ahora bien, de la circunferencia conocemos dos puntos P y Q respectivamente…

Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 12. Tres problemas clásicos de la G. Analítica.

Actualización: Agosto 15 de 2009
Fecha de publicación inicial: Agosto 30 de 2007

Segundo problema.

Cálculo de la ecuación en las formas general y ordinaria, el centro y el radio de una circunferencia conocidos tres de sus puntos.

Sean los puntos P(2, -2), Q(-1, 4) y R(4, 6) tres puntos por los cuales pasa una circunferencia. Hallar su ecuación general, ordinaria, las coordenadas de su centro y el radio de la misma.

De la ecuación general:

x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0

Sustituyendo las coordenadas de los tres puntos se forman tres ecuaciones.

Ec’n.1. (2)²+(-2)²+D(2)+E(-2)+F=0; simplificando queda:

2D-2E+F=-8

Ec’n.2. (-1)²+(4)²+D(-1)+E(4)+F=0; simplificando queda:

-D+4E+F=-17

Ec’n.3. (4)²+(6)²+D(4)+E(6)+F=0; simplificando queda:

4D+6E+F=-52

Las tres ecuaciones forman lo que se denomina un sistema de 3 ecuaciones de primer grado con tres incógnitas. D, E y F.

Para resolver este sistema de ecuaciones puedes emplear diferentes métodos: por determinantes, por sustitución, por reducción, etc. Son métodos que has estudiado en cursos de matemáticas básicas, en particular algebra. Para nuestro caso igualaremos algunas variables de tal forma que al sumarlas podamos anular algunas.

Empezaremos con las ec’s. 1 y 2…

2D-2E+F=-8
-D+4E+F=-17

Observa que F es igual en ambas ecuaciones.

Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 12. Tres problemas clásicos de la Geometría Analítica.

Actualización: Agosto 12 de 2009
Fecha de publicación inicial: Agosto 25 de 2007

1. El cálculo del perímetro de una circunferencia a partir de su ecuación general.

2. El cálculo de la ecuación de una circunferencia en las formas general y ordinaria, su centro y su radio conocidos tres de sus puntos.

3. El cálculo de la ecuación de una recta tangente a la circunferencia en un punto de la misma, conocidas las coordenadas del punto de tangencia, la ecuación de la circunferencia y las coordenadas del punto central de la circunferencia.

Los tres problemas son pura teoría -manipulación de letras y números-, pero son atractivos para cualquier persona que estudie Geometría Analítica ya que don René Descartes y otros grandes matemáticos de hace cinco siglos se tardaron algunos años para encontrarles solución, cosa que no sucederá contigo porque emplearás solo algunos minutos de tu vida para hacerlo, además te permitirán repasar algunos conceptos de matemáticas previas y desde luego algebra. Aquí desarrollaré el primero, y en los temas siguientes los otros.

Primer problema.

Cálculo del perímetro o longitud de una circunferencia a partir de su ecuación general.

Sea la ecuación:

25x²+25y²+30x-20y-62=0

Determinar la longitud de la circunferencia que representa.

Como recordarás Tema 11 la forma general de la ecuación de la circunferencia es:

x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0.

Para hacer que la ecuación del problema se «parezca» a la ecuación general la dividimos entre 25 y quedaría:

(25x²+25y²+30x-20y-62)/25=0

x²+y²+(30/25)x-(20/25)y-(62/25)=0

reduciendo y reacomodando términos:

x²+(6/5)x+y²-(4/5)y=62/25

Completando a un trinomio cuadrado perfecto:

[x²+(6/5)x+9/25]+[y²-(4/5)y+4/25]=(62/25)+(9/25)+(4/25)

simplificando:

[x+√(9/25)]²+[y-√(4/25)]²=75/25=3

Si r²=3

Entonces: r es √ 3 por lo tanto el diámetro que es dos veces el radio queda: d=2√ 3

Aplicando la fórmula para el cálculo del perímetro de una circunferencia:

Per= (π)(Diámetro), resulta: (π)(2√3), o bien: 2π√3

Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 11a. Obtención de la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y fuera de él, conocidos su radio y las coordenadas de su Centro.

Actualización: Agosto 08 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Noviembre 18 de 2008.

¡Bah! de lo más sencillo.

Obtener la ecuación de una circunferencia a partir de una serie de datos es de lo más simple, el problema más bien radica en encontrar las “fórmulas” para hacerlo, las cuales te expliqué y demostré en temas anteriores (Tema 10 y Tema 11), así que lo que veremos en este tema será bastante sencillo.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen que se muestra en la figura, cuyo radio es 5.

La “fórmula” de Descartes para una circunferencia con centro en el origen es:

X²+Y²=r²

Entonces, sustituyendo el valor del radio (r) en la ecuación, quedaría:

X²+Y²=(5)²

X²+Y²=25

Esta es pues, la ecuación particular de la circunferencia con centro en el origen cuyo radio es 5. Sencillo ¿O no?

Y si el radio de la circunferencia es 3 ¿Cuál sería su ecuación?

X²+Y²=(3)²

X²+Y²=9

¿Y si el radio fuera √7?

X²+Y²=(√7)² =7

En fin, como podrás ver es demasiado sencillo.

Compliquémoslo un poco más…

Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 11. Manipulación algebraica de la Ec´n. Ordinaria de la Circunferencia con Centro Fuera del Origen, para obtener su Ec´n. General.

Segunda actualización: Agosto 05 de 2009.
Primera actualización: Diciembre 02 de 2008.
Primera publicación: Agosto 19 de 2007.
……………………

En el tema anterior concluimos que: (X-X₁)² + (Y-Y₁)² = R²

Si escribimos la expresión anterior como:

(x-h)² + (y-k)² = r², haciendo X₁=h, Y₁=k, y R=r, ten por seguro que no se molestarán ni Descartes, ni tus papás (pregúntales si quieres), mucho menos el señor que vende globos en el parque. Así que en lo sucesivo utilizaremos ésta última expresión que es más usual en los libros de Geometría Analítica.

Ratificando: (X-X₁)²+(Y-Y₁)²=R², es exactamente lo mismo que:

(x-h)² + (y-k)² = r²

Ahora «manipulemos» algebraicamente a esta última expresión.

Primero desarrollaremos los binomios al cuadrado.

(x-h)² + (y-k)² = r²

x²-2hx+h²+y²-2ky+k² = r²

Reacomodando términos quedaría:

x² + y² – 2hx – 2ky + h² + k² – r² = 0

Revisa bien todos los términos y las manipulaciones que hice pues es muy fácil perderse. La r² al pasar del otro lado del símbolo igual pasa efectuando la operación contraria, es decir restando y como no queda nada del lado derecho ponemos un cero. Bien…

Ahora haremos una serie de igualaciones -igual hicimos al principio cuando igualamos x₁=h, e y₁=k.

Hagamos: D=-2h; E=-2k, y F= (h² + k² – r²)

Sustituyamos la D, E, y la F en la expresión que habíamos determinado:

x² + y² – 2hx – 2ky + h² + k² – r² = 0, sustituyendo queda:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0, ¡Ooook´!

A la expresión anterior se le llama Ecuación General de la Circunferencia.

¿Y esta maravillosa ecuación para que nos sirve?

Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 10. ¿Y la expresión: X²+Y²=R² ?

Actualización: Agosto 2 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Agosto 13 de 2007.

Veamos cómo diablos llegó don René a la fórmula: X² + Y² = R², a la cual llamó Ecuación de la Circunferencia con Centro en el Origen. Espero que la figura que hice para demostrarlo no te revuelva el estómago. En realidad es fácil interpretarla. Iremos paso a paso, detalle por detalle, sin tantos «rollos» matemáticos (aprecio a quienes demuestran lo mismo utilizando: axiomas, postulados y teoremas, pero mi  camino es otro).

1. ¿Qué hay en la gráfica? Tenemos un sistema coordenado cartesiano y una circunferencia. Señalamos un punto P de la circunferencia cuyas coordenadas serán: P(X, Y), también tenemos su punto central el cual indicaremos como: P₁(X₁, Y₁).

Del punto P₁ al punto P está indicada la distancia d, luego formamos un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b, quedando como su hipotenusa la distancia d. Bien… hasta ahora solo hemos puesto letras y puntos. Espero que no sea necesario explicarlo con «manzanitas».

2. La clave está en el triángulo que se forma a partir de la distancia d ya que puedes interpretarla de tres maneras: A). Como distancia del punto P₁ al punto P. B). Como el radio de la circunferencia, y C). Como la hipotenusa de un triángulo. Las tres cosas en este caso son EXACTAMENTE LO MISMO.

En otras palabras: Distancia = Radio = Hipotenusa o bien: d = r = h

3. Pero ya sabemos por el teorema de Pitágoras que la hipotenusa de un triángulo es: hip = √ (a²+b²) sin embargo como h = r = d entonces: d = √ (a²+b²) ¿Ok? O también puedes hacer: r = √ (a²+b²)

4. Pero, pero, pero… también sabemos que podemos proyectar los catetos hacia los ejes y determinar su valor, «restando la coordenada final menos la inicial» por lo tanto los catetos a y b quedarían: b = X-X₁ y a = Y-Y₁, entonces regresando al punto 3 sustituyendo estos nuevos valores en r = √ (a²+b²) quedaría: r = √ ((X-X₁)² + (Y-Y₁)²)

5. «Pasando» la raíz cuadrada del otro lado de la expresión quedaría:

r² = (X-X₁)² + (Y-Y₁)² o igual:

(X-X₁)² + (Y-Y₁)² = r²

¡Terminamos!

Don René llamó a la ecuación anterior: Primera Ecuación Ordinaria de la Circunferencia, o Ecuación de la Circunferencia con Centro Fuera del Origen.

Ahora bien, si el punto P₁ está en el origen del sistema coordenado cartesiano, coordenadas (0,0), X₁=0, Y₁=0, entonces al sustituirlas en la ecuación anterior la fórmula se reduce a:

(X-X₁)² + (Y-Y₁)² = r²; (X-0)² + (Y-0)² = r²; (X)² + (Y)² = r²; por lo que:

X² + Y² = r²

¡¡E ahí René Descartes descubierto!! E ahí la simplicidad de lo que hizo y que seguramente le llevó muchos años de su vida. Y tú lo has entendido en unos minutos, entonces cuando te digo: tienes la capacidad e inteligencia mayores que tus antepasados, incluso que estos grandes hombres de hace varios cientos de años, estoy en lo cierto.

Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 9. Graficando Ecuaciones de Circunferencias con Centro en el Origen.

Actualización: Julio 27 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Agosto 11 de 2007.

Las ecuaciones de circunferencias con Centro en el Origen en un Sistema Coordenado Cartesiano, se expresan con base en la siguiente ecuación: X²+Y²=R². Las variables X e Y elevadas al cuadrado siempre van juntas en un lado de la expresión y en el otro está la constante R. En realidad puedes utilizar las letras que desees pero siempre deben estar acomodadas de la manera indicada.

Para el que conoce este tipo de ecuaciones es fácil imaginar su grafica con solo ver la ecuación, pero para ti que apenas estás aprendiendo Geometría Analítica el camino –aunque largo- debe ser de acuerdo a lo que has aprendido en los temas anteriores, es decir dando valores a X y obteniendo valores de Y, por lo tanto lo primero que debes hacer es despejar Y de la ecuación, hagámoslo con la expresión: X²+Y²=25

Pasando la X² del otro lado queda: Y²=25-X²

Luego, pasando el exponente 2 de la Y del otro lado (pasa como raíz cuadrada) queda:

Y = √(25-X²) ¿Ok´?

Esta es la expresión resultante, a la cual tienes que darle valores a la variable independiente X y obtener valores de la variable dependiente Y para graficarla.

Hagámoslo…

Si X vale 0, entonces Y = √(25-0²) = √25 = 5, Por lo tanto, Si X=0, Y=5
Si X vale 1, Y = √(25-1²) = √(25-1) = √24, Por lo tanto, Si X=1, Y=4.89
Si X vale 2, Y = √(25-2²) = √(25-4) = √21, Por lo tanto, Si X=2, Y=4.58
Si X vale 3, Y = √(25-3²) = √(25-9) = √16, Por lo tanto, Si X=3, Y=4
Si X vale 4, Y = √(25-4²) = √(25-16) = √9, Por lo tanto, Si X=4, Y=3
Si X vale 5, Y = √(25-5²) = √(25-25) = √0, Por lo tanto, Si X=5, Y=0

Ahora démosle a la X un valor de 6 y veamos que pasa…

Si X vale 6, entonces Y = √ (25-6²) = √ (25-36) = √ (-11). Observa que resultó la raíz cuadrada de un número negativo, lo cual implica un número IMAGINARIO, por lo que ya no es posible graficarlo. Este valor no es permitido e igual sucede cuando X vale 7, 8, etc. Intenta extraer la raíz cuadrada de cualquier número negativo, por ejemplo de -2 en tu calculadora científica y verás que marca error ¿Por qué? Porque el resultado es un número imaginario y las calculadoras fueron hechas inicialmente para trabajar con números REALES, es decir situaciones REALES no imaginarias. Desde luego que hay forma de estudiar a los números imaginarios que forman una categoría -inventada también por don René Descartes- llamada «números complejos», aplicados por ejemplo en cálculos eléctricos, pero esa… «es otra historia».

Una primera conclusión es: la ecuación «no procede» o «no funciona» para números mayores de 5.

Pero…

Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 8. Construyendo ecuaciones de circunferencias.

Actualización: Julio 22 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Agosto 6 de 2007.

Hace días visitando a un conocido mío (cosa rara que ande de visita), al llegar a su casa vi que su gato estaba dormido en una curiosa posición formando una circunferencia casi perfecta, el caso es que me pregunté: ¿Cuál será la ecuación que rige la circunferencia del gato de acuerdo a su postura?

Separando los dedos de mi mano derecha tomé la medida del punto central a su lomo sin despertarlo, vi que coincidía con la distancia que hay entre los extremos de mis dedos pulgar y medio.

Más tarde cuando llegué a mi casa medí la distancia y resultaron 21 Cms.

Con esta medida obtuve el radio de la circunferencia que formaba el gato: 21 Cms.

Luego utilicé una fórmula que inventó don René Descartes: X²+Y²=R²

En donde X es la abscisa, Y es la ordenada y R es el radio de la circunferencia que formaba el gato.

Entonces, sustituyendo el radio resulta: X² + Y² = (21)² = 441 o bien:

Y = √ (441 – X²)

Si el Sistema Coordenado de la figura estuviera exactamente en el centro de la circunferencia, es decir, el punto rojo (origen) encima del punto blanco (tal como indican las líneas punteadas), la anterior sería la ecuación que regiría la circunferencia que forma el gato dormido.

¿Complicado?…

Ahora determinemos la ecuación que rige la circunferencia del iris de un ojo. Al medir el diámetro del iris resultan 1.2 Cms, por lo tanto el radio que es la mitad del diámetro queda de 0.6 Cms.

Aplicando la fórmula de don René, resulta:

X² + Y² = (0.6)² = 0.36

o bien,

Y = √ (0.36 – X²)

Si el Sistema Coordenado de la figura estuviera exactamente en el centro de la circunferencia del iris, la anterior sería su ecuación.

Finalmente…

Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 7. Pero… ¿Cómo lo hizo don René Descartes?

Actualización: Julio 18 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Agosto 2 de 2007.

¿De dónde sacó las fórmulas:

1) M = (Y₂-Y₁)/(X₂-X₁), y,
2) Y-Y₁ = M(X-X₁)

Veamos como lo hizo el santo señor Descartes.

M se llama pendiente (puede indicarse con M, ó m, es igual).

¿Sabes que significa el término PENDIENTE?

La palabra tiene diferentes significados, puede interpretarse como preocupación por algo, como un asunto que estás por resolver, o como una especie de «arete» colgado de la oreja, sin embargo hay otra forma de entenderla y es en matemáticas.

A veces cuando alguien va a hacer ejercicio a algún lugar suele decir: subí una cuesta que tenía mucha pendiente, los que practican montañismo dicen: la montaña que subí estaba muy empinada, tenía mucha pendiente. Algún automovilista despistado pudo haber dicho: dejé el carro estacionado y olvidé meterle el freno de mano, de tal manera que cuando regresé lo encontré cien metros abajo hecho pedazos, es que el terreno tenía mucha pendiente.

Entonces, cuando se habla de inclinación de algo, ya sea de un terreno, o de una montaña, o de una escalera, etc, en matemáticas se habla de pendiente.

Pues bien… técnicamente para una recta la pendiente se define como: la tangente de su ángulo de inclinación. ¿Físicamente? Es como si estiraras y encimaras un trozo de hilo (simulando una recta) sobre la superficie de la cual quieres determinar su pendiente (línea rosa de la figura), la pendiente del terreno sería la tangente del ángulo que forma el hilo respecto de una recta perfectamente horizontal (eje X).

Todo lo anterior matemáticamente se escribe:

m = tg α

Y se lee como: La pendiente de una recta es igual a la tangente de su ángulo de inclinación. La letra utilizada para indicar el ángulo puede ser: α (Alfa), β (Beta), θ (Theta), A, B, C, o la letra que se te pegue la gana.

Una primera pregunta sería: ¿Y si un terreno fuera completamente horizontal -es decir plano y sin ángulo de inclinación- tendría pendiente? No. Cualquier superficie sin ángulo de inclinación no tiene pendiente, o dicho de otra manera: su pendiente sería cero.

¿m=0 para una superficie horizontal? Sí, porque α=0, entonces: Tg α = tg 0 = 0, la tangente de cero es igual a cero, compruébalo en tu maravilloso aparatito llamado calculadora.

¿Y si el ángulo de inclinación es de 90º, es decir, si la superficie fuera completamente vertical (por ejemplo un edificio) cuál sería su pendiente?

Tópicos de Geometría Analítica.

TEMA 6. Construyendo Ecuaciones.

Actualización: Julio 14 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Julio 28 de 2007.

El señor de la tienda de abarrotes de la esquina vende refrescos en lata (sodas) a $6.00 cada uno. Para evitar confusiones a la hora de cobrar puso una hoja de papel con los precios por uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis refrescos. Es obvio que el santo señor desconoce la tabla del seis y que además le cuesta trabajo sumar, lo que seguramente tendrá consecuencias negativas para su tienda, pero bueno… esa es otra historia. El caso es que llegaste a la tienda, viste la pequeña hoja con los precios pegada en la pared y como eres experto en la construcción de ecuaciones quieres hacer una que determine los precios por las latas de refresco a partir de las cantidades que ves.

Primero ubiquemos puntos en un Sistema Coordenado Cartesiano… Número de latas y Precio forman un PAR de valores igual que si fueran un PAR de coordenadas.

Observa que al unir todos los puntos resulta una RECTA, de la cual vamos a determinar su ecuación.

Utilicemos una fórmula inventada por don René Descartes (después te explico de donde la obtuvo y como se llama realmente).

Y-Y₁=M(X-X₁)

Para utilizarla requerimos: conocer las coordenadas de un punto (X₁, Y₁), cualesquiera de la recta que se formó y un valor M de la recta para lo cual ocuparemos las coordenadas de dos puntos, también cualesquiera de la recta, incluso uno de ellos podría ser (X₁, Y₁).

Elijamos pues: (X₁, Y₁) sus valores 2, y $12.00, o sea X₁=2 e Y₁=12 ¿de acuerdo? Puedes elegir cualquier PAR de valores que quieras y resulta lo mismo.

Ahora para M elijamos X₂=3; Y₂=18 y X₃=5; Y₃=30, sustituyámoslos en la ecuación M=(Y₃-Y₂)/(X₃-X₂) ¿de dónde salió esta ecuación? Me la saqué de la manga, luego te explico. Por el momento ve lo que necesitas y en donde tienes que sustituir.

M=(Y₃-Y₂)/(X₃-X₂)=(30-18)/(5-3)=12/2=6

Ahora sí, sustituyamos todo lo que tenemos en la primera ecuación…

Y-Y₁=M(X-X₁)→ Y-12=6(X-2)→ Y=6X-12+12→

Y=6X ¡Listo!

Esta es la ecuación que rige los precios de los refrescos en lata en la tienda del señor. ¡Ah! ¡Si el santo señor supiera Geometría Analítica!

Pero… ¿Y cómo debemos interpretarla?