Tópicos de Geometría Analítica.

15 07 2009

TEMA 6. Construyendo Ecuaciones.

Actualización: Julio 14 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Julio 28 de 2007.

El señor de la tienda de abarrotes de la esquina vende refrescos en lata (sodas) a $6.00 cada uno. Para evitar confusiones a la hora de cobrar puso una hoja de papel con los precios por uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis refrescos. Es obvio que el santo señor desconoce la tabla del seis y que además le cuesta trabajo sumar, lo que seguramente tendrá consecuencias negativas para su tienda, pero bueno… esa es otra historia. El caso es que llegaste a la tienda, viste la pequeña hoja con los precios pegada en la pared y como eres experto en la construcción de ecuaciones quieres hacer una que determine los precios por las latas de refresco a partir de las cantidades que ves.

Primero ubiquemos puntos en un Sistema Coordenado Cartesiano… Número de latas y Precio forman un PAR de valores igual que si fueran un PAR de coordenadas.

VentaSodasObserva que al unir todos los puntos resulta una RECTA, de la cual vamos a determinar su ecuación.

Utilicemos una fórmula inventada por don René Descartes (después te explico de donde la obtuvo y como se llama realmente).

Y-Y1=M(X-X1)

Para utilizarla requerimos: conocer las coordenadas de un punto (X1, Y1), cualesquiera de la recta que se formó y un valor M de la recta para lo cual ocuparemos las coordenadas de dos puntos, también cualesquiera de la recta, incluso uno de ellos podría ser (X1, Y1).

Elijamos pues: (X1, Y1) sus valores 2, y $12.00, o sea X1=2 e Y1=12 ¿de acuerdo? Puedes elegir cualquier PAR de valores que quieras y resulta lo mismo.

Ahora para M elijamos X2=3; Y2=18 y X3=5; Y3=30, sustituyámoslos en la ecuación M=(Y3-Y2)/(X3-X2) ¿de dónde salió esta ecuación? Me la saqué de la manga, luego te explico. Por el momento ve lo que necesitas y en donde tienes que sustituir.

M=(Y3-Y2)/(X3-X2)=(30-18)/(5-3)=12/2=6

Ahora sí, sustituyamos todo lo que tenemos en la primera ecuación…

Y-Y1=M(X-X1)→ Y-12=6(X-2)→ Y=6X-12+12→

Y=6X ¡Listo!

Esta es la ecuación que rige los precios de los refrescos en lata en la tienda del señor. ¡Ah! ¡Si el santo señor supiera Geometría Analítica!

Pero… ¿Y cómo debemos interpretarla?

X son latas de refrescos e Y son pesos. O sea que si X fueran 5 latas de refresco entonces Y=6(5)=$30.00 ¿y si X fueran 15 latas de refresco cuanto tendrías que pagar? En este caso Y=6(15)=$90.00

Bueno… ¿y para que tanto enredo si ya sabíamos que con una sencilla multiplicación podíamos resolver el problema, o igual con una regla de tres simple? Pues… resulta que no todas las situaciones o procesos físicos reales son tan sencillos. A veces se pueden ubicar en rectas y otras en curvas, pero si entendiste perfectamente el problema anterior estoy seguro que resolverás casos más complejos y otros que aparentan ser peores pero que se basan en lo mismo, por ejemplo este…

Se lanza un cohete a la luna cubriendo la siguiente trayectoria:

LanzandoCoheteA 1 Km. del punto de lanzamiento tiene una altura de 6 Km.
A 2 Km. del punto de lanzamiento tiene una altura de 12 Km.
A 3 Km… 18 Km.
A 4 Km… 24 Km.
A 5 Km… 30 Km.
A 6 Km… 36 Kms.

¿Cuál es la ecuación que rige su trayectoria de cero a seis kilómetros?

Si eres observador te habrás dado cuenta de que es exactamente el mismo problema del señor de la tienda, pero aplicado a algo más grande… ¿Qué tal?

La ecuación que rige la trayectoria del dichoso cohete de cero a seis kilómetros es Y=6X

Pero nos quedan dos asuntos pendientes… ¿de dónde demonios salió la “fórmula” Y-Y1=M(X-X1) y, -como dicen los jóvenes- ¿Qué onda con M?

En el siguiente tema te digo de donde salieron…

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One response

15 07 2009
fer

hola, su espacio es magnifico, ya habia tenido la experiencia con anterioridad de ver sus publicaciones en la web y me siguen pareciendo acertadas pero no habia tenido oportunidad de opinar… con respecto a este articulo, como usted mencionaba este tipo de problemas tiene su facilidad puesto que no exigen mas que un analisis del problema mas profundo por ser de genero lineal, el problema ya viene cuando se quiere sacar una ecuacion que responda a situaciones de naturaleza mas reales. pero creo que es un buen comienzo para quienes quieran saber cuales son las partes minimas de el analisis de los problemas, en el cual lo mas dificil es para muchos conocer la variable que necesita ser declarada y la que influye en estos casos de manera determinante, como en sus problemas lo fue el numero de latas vendidas, y la distancia horizontal recorrida.
………

Hola Fer…
Uno de los objetivos de estos temas es de que los jóvenes se interesen en las matemáticas, en este sentido siempre trataré de que sean los más sencillos y amenos posibles, sin profundizar mucho, tal vez más adelante escriba sobre cosas más profundas.
Saludos y gracias por tu comentario.
Ing. I. Guerrero Z.

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