Tópicos de Geometría Analítica.

13 08 2009

Tema 12. Tres problemas clásicos de la Geometría Analítica.

Actualización: Agosto 12 de 2009
Fecha de publicación inicial: Agosto 25 de 2007

Tres problemas

1. El cálculo del perímetro de una circunferencia a partir de su ecuación general.

2. El cálculo de la ecuación de una circunferencia en las formas general y ordinaria, su centro y su radio conocidos tres de sus puntos.

3. El cálculo de la ecuación de una recta tangente a la circunferencia en un punto de la misma, conocidas las coordenadas del punto de tangencia, la ecuación de la circunferencia y las coordenadas del punto central de la circunferencia.

Los tres problemas son pura teoría -manipulación de letras y números-, pero son atractivos para cualquier persona que estudie Geometría Analítica ya que don René Descartes y otros grandes matemáticos de hace cinco siglos se tardaron algunos años para encontrarles solución, cosa que no sucederá contigo porque emplearás solo algunos minutos de tu vida para hacerlo, además te permitirán repasar algunos conceptos de matemáticas previas y desde luego algebra. Aquí desarrollaré el primero, y en los temas siguientes los otros.

Primer problema.

Cálculo del perímetro o longitud de una circunferencia a partir de su ecuación general.

Perimetro

Sea la ecuación:

25x2+25y2+30x-20y-62=0

Determinar la longitud de la circunferencia que representa.

Como recordarás Tema 11 la forma general de la ecuación de la circunferencia es:

x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0.

Para hacer que la ecuación del problema se “parezca” a la ecuación general la dividimos entre 25 y quedaría:

(25x2+25y2+30x-20y-62)/25=0

x2+y2+(30/25)x-(20/25)y-(62/25)=0

reduciendo y reacomodando términos:

x2+(6/5)x+y2-(4/5)y=62/25

Completando a un trinomio cuadrado perfecto:

[x2+(6/5)x+9/25]+[y2-(4/5)y+4/25]=(62/25)+(9/25)+(4/25)

simplificando:

[x+√(9/25)]2+[y-√(4/25)]2=75/25=3

Si r2=3

Entonces: r es √ 3 por lo tanto el diámetro que es dos veces el radio queda: d=2√ 3

Aplicando la fórmula para el cálculo del perímetro de una circunferencia:

Per= (π)(Diámetro), resulta: (π)(2√3), o bien: 2π√3

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2 responses

8 09 2011
salvador alberto espinoza

está muy bién ayudar a los demas que estamos estudiando aunque seamos de otros paises. felicidades.

29 08 2007
angel

neta profe que buena pagina tiene de todo y esto me ayuda a saber mas de electricidad, mantenimiento, y anectodas interesantes

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