Tópicos de Geometría Analítica.

17 08 2009

Tema 12. Tres problemas clásicos de la G. Analítica.

Actualización: Agosto 15 de 2009
Fecha de publicación inicial: Agosto 30 de 2007

Segundo problema.

Cálculo de la ecuación en las formas general y ordinaria, el centro y el radio de una circunferencia conocidos tres de sus puntos.

3Puntos

Sean los puntos P(2, -2), Q(-1, 4) y R(4, 6) tres puntos por los cuales pasa una circunferencia. Hallar su ecuación general, ordinaria, las coordenadas de su centro y el radio de la misma.

De la ecuación general:

x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0

Sustituyendo las coordenadas de los tres puntos se forman tres ecuaciones.

Ec’n.1. (2)2+(-2)2+D(2)+E(-2)+F=0; simplificando queda:

2D-2E+F=-8

Ec’n.2. (-1)2+(4)2+D(-1)+E(4)+F=0; simplificando queda:

-D+4E+F=-17

Ec’n.3. (4)2+(6)2+D(4)+E(6)+F=0; simplificando queda:

4D+6E+F=-52

Las tres ecuaciones forman lo que se denomina un sistema de 3 ecuaciones de primer grado con tres incógnitas. D, E y F.

Para resolver este sistema de ecuaciones puedes emplear diferentes métodos: por determinantes, por sustitución, por reducción, etc. Son métodos que has estudiado en cursos de matemáticas básicas, en particular algebra. Para nuestro caso igualaremos algunas variables de tal forma que al sumarlas podamos anular algunas.

Empezaremos con las ec’s. 1 y 2…

2D-2E+F=-8
-D+4E+F=-17

Observa que F es igual en ambas ecuaciones.

Si multiplicas la ec’n 1 por (-1) de tal forma que cambien todos los signos de la expresión te quedaría:

(-1)(2D-2E+F)=(-8)(-1)

-2D+2E-F=8 la cual consideramos como ec’n. 4

Ahora bien, sumando las ec’s 4 y 2, queda:

-2D+2E-F=8
-D+4E+F=-17

============

-3D+6E=-9; la cual consideramos como ec’n. 5

Procede de la misma manera con las ecuaciones 2 y 3.

Multiplicando la ec’n 2 por (-1) quedaría:

(-1)(-D+4E+F)=(-17)(-1)

D-4E-F=17 la cual consideramos como la ec’n. 6

Sumando las ec’s. 6 y 3 queda:

D-4E-F=17
4D+6E+F=-52
============

5D+2E=-35 la cual consideramos como la ec’n. 7

Ahora bien agrupando las ec’s 5 y 7, quedaría:

-3D+6E=-95

D+2E=-35

Se procede de la misma forma, tienes que igualar una de las dos literales quedando una de ella (cualquiera) con signo contrario. Puedes ver que al multiplicar la ec’n. 7 por (-3) al sumar ambas ecuaciones se anula la literal E.

(-3)(5D+2E)=(-35)(-3) quedaría:

-15D-6E=105

-15D-6E=105
-3D+6E=-9
============

-18D=96; despejando D, queda: D=96/-18; simplificando: D=-16/3

Sustituyendo D en la ec’n. 5 queda:

-3(-16/3)+6E=-9

16+6E=-9

Despejando E queda: E=-25/6

Ahora, sustituyendo los valores de D y E en la ec’n. 1 queda:

2(-16/3)-2(-25/6)+F=-8

(-32/3)+(50/6)+F=-8

(-32/3)+(25/3)+F=-8

Por lo tanto:

F=-8+(32/3)-(25/3)=-8+(7/3)=-17/3

Así: F=-17/3

En total queda:

D=-16/3

E=-25/6

F=-17/3

Sustituyendo en la fórmula general: x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0 queda:

x2+y2-(16/3)x-(25/6)y-17/3=0 Siendo ésta la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos: P(2, -2), Q(-1, 4) y R(4, 6).

Para obtener la ec’n. en la forma ordinaria se procede como en casos anteriores. Se reacomodan términos, se completa a un trinomio cuadrado perfecto y se elevan los términos en forma separada:

[x2-(16/3)x]+[y2-(25/6)y]=-17/3

El término que completa a x, es: 64/9, el término que completa a y, es: 625/144; agregándolos queda:[x2-(16/3)x-64/9]+[y2-(25/6)y+625/144]=-17/3+64/9+625/144; simplificando:

(x-8/3)2+(y-25/12)2=2465/144

Denominada ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria.

El centro de la circunferencia se determina por simple inspección de la ecuación anterior, quedando:

C(8/3, 25/12)

De igual forma el radio se determina por simple inspección:

r=√(2465/144)

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