Tópicos de Geometría Analítica.

11 08 2009

Tema 11a. Obtención de la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y fuera de él, conocidos su radio y las coordenadas de su Centro.

Actualización: Agosto 08 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Noviembre 18 de 2008.

¡Bah! de lo más sencillo.

Obtener la ecuación de una circunferencia a partir de una serie de datos es de lo más simple, el problema más bien radica en encontrar las “fórmulas” para hacerlo, las cuales te expliqué y demostré en temas anteriores (Tema 10 y Tema 11), así que lo que veremos en este tema será bastante sencillo.

Radio Ecn1aEjemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen que se muestra en la figura, cuyo radio es 5.

La “fórmula” de Descartes para una circunferencia con centro en el origen es:

X2+Y2=r2

Entonces, sustituyendo el valor del radio (r) en la ecuación, quedaría:

X2+Y2=(5)2

X2+Y2=25

Esta es pues, la ecuación particular de la circunferencia con centro en el origen cuyo radio es 5. Sencillo ¿O no?

Y si el radio de la circunferencia es 3 ¿Cuál sería su ecuación?

X2+Y2=(3)2

X2+Y2=9

¿Y si el radio fuera √7?

X2+Y2=(√7)2 =7

En fin, como podrás ver es demasiado sencillo.

Compliquémoslo un poco más…

Radio Ecn2Problema. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo radio es 5 y las coordenadas de su centro son: (3, 2)

En este caso, siempre relaciona la primera coordenada del centro de la circunferencia con un valor h, y la segunda con un valor k, y utiliza la siguiente “fórmula”…

(X-h)2 + (Y-k)2 = r2

Entonces h=3; k=2; y r=5, sustituyendo estos valores queda:

(X-3)2 + (Y-2)2 =(5)2

(X-3)2 + (Y-2)2 = 25

El asunto sigue siendo bastante sencillo, quizá se complique un poco más si hay signos en juego, por ejemplo:

Problema. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en: (-2, -4) y su radio es 6.

Sustituyendo…

(X-(-2))2 + (Y-(-4))2 = (6)2 Multiplicando signos y elevando al cuadrado el 6 quedaría…

(X+2)2 + (Y+4)2 = 36

Problema. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en (1/4, -1/7) y su radio es 3/4

(X-1/4)2 + (Y-(-1/7))2 = (3/4)2

(X-1/4)2 + (Y+1/7)2 = 9/16

En fin, este tema no da para más.

Entonces, en lo sucesivo, cuando alguien te pregunte: ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el punto “fulanito” y tiene radio “sutanito”? Contéstale, ¡Bah! es de lo más sencillo, mejor pregúntame otra cosa más interesante. Esta respuesta también puede salvarte si no sabes cómo hacerlo.

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