Tópicos de Geometría Analítica.

29 07 2009

Tema 9. Graficando Ecuaciones de Circunferencias con Centro en el Origen.

Actualización: Julio 27 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Agosto 11 de 2007.

compasgirandoLas ecuaciones de circunferencias con Centro en el Origen en un Sistema Coordenado Cartesiano, se expresan en base a la siguiente ecuación: X2+Y2=R2. Las variables X e Y elevadas al cuadrado siempre van juntas en un lado de la expresión y en el otro está la constante R. En realidad puedes utilizar las letras que desees pero siempre deben estar acomodadas de la manera indicada.

Para el que conoce este tipo de ecuaciones es fácil imaginar su grafica con solo ver la ecuación, pero para ti que apenas estás aprendiendo Geometría Analítica el camino –aunque largo- debe ser de acuerdo a lo que has aprendido en los temas anteriores, es decir dando valores a X y obteniendo valores de Y, por lo tanto lo primero que debes hacer es despejar Y de la ecuación, hagámoslo con la expresión: X2+Y2=25

circenoriPasando la X2 del otro lado queda: Y2=25-X2

Luego, pasando el exponente 2 de la Y del otro lado (pasa como raíz cuadrada) queda:

Y = √(25-X2) ¿Ok´?

Esta es la expresión resultante, a la cual tienes que darle valores a la variable independiente X y obtener valores de la variable dependiente Y para graficarla.

Hagámoslo…

Si X vale 0, entonces Y = √(25-02) = √25 = 5, Por lo tanto, Si X=0, Y=5
Si X vale 1, Y = √(25-12) = √(25-1) = √24, Por lo tanto, Si X=1, Y=4.89
Si X vale 2, Y = √(25-22) = √(25-4) = √21, Por lo tanto, Si X=2, Y=4.58
Si X vale 3, Y = √(25-32) = √(25-9) = √16, Por lo tanto, Si X=3, Y=4
Si X vale 4, Y = √(25-42) = √(25-16) = √9, Por lo tanto, Si X=4, Y=3
Si X vale 5, Y = √(25-52) = √(25-25) = √0, Por lo tanto, Si X=5, Y=0

Ahora démosle a la X un valor de 6 y veamos que pasa…

Si X vale 6, entonces Y = √ (25-62) = √ (25-36) = √ (-11). Observa que resultó la raíz cuadrada de un número negativo, lo cual implica un número IMAGINARIO, por lo que ya no es posible graficarlo. Este valor no es permitido e igual sucede cuando X vale 7, 8, etc. Intenta extraer la raíz cuadrada de cualquier número negativo, por ejemplo de -2 en tu calculadora científica y verás que marca error ¿Por qué? Porque el resultado es un número imaginario y las calculadoras fueron hechas inicialmente para trabajar con números REALES, es decir situaciones REALES no imaginarias. Desde luego que hay forma de estudiar a los números imaginarios que forman una categoría -inventada también por don René Descartes- llamada “números complejos”, aplicados por ejemplo en cálculos eléctricos, pero esa… “es otra historia”.

Una primera conclusión es: la ecuación “no procede” o “no funciona” para números mayores de 5.

Pero… podemos continuar asignando valores a la X, solo que ahora lo haremos con números negativos.

Si X vale -1, entonces Y=√(25-(-1)2)=√(25-1)=√24, Por lo tanto, Si X=-1, Y=4.89
Si X vale -2, Y=√(25-(-2)2)=√(25-4)=√21, Por lo tanto, Si X=-2, Y=4.58
Si X vale -3, Y=√(25-(-3)2)=√(25-9)=√16, Por lo tanto, Si X=-3, Y=4
Si X vale -4, Y=√(25-(-4)2)=√(25-16)=√9, Por lo tanto, Si X=-4, Y=3
Si X vale -5, Y=√(25-(-5)2)=√(25-25)=√0, Por lo tanto, Si X=-5, Y=0
Si X vale -6, Y=√(25-(-62))=√(25-36)=√(-11), nos queda la raíz cuadrada de un número negativo por lo que ya “no procede”.

Una segunda conclusión es: la ecuación “no procede” o “no funciona” para números menores de -5.

Nota. Recuerda que en una recta numérica un número que esté a la izquierda de otro siempre es MENOR.

Ahora grafiquemos los valores obtenidos.

circenori1Como puedes observar resulta solo la mitad de la circunferencia. ¿Y la otra mitad?

Bien… este problema se resuelve inicialmente al despejar la Y de la ecuación que buscas graficar dejando la raíz cuadrada con signo positivo y negativo a la vez, es decir: Y= ± √(25-X2) de tal manera que el valor que resulta para Y cada vez que le asignes un valor a X es al mismo tiempo positivo y negativo.

Por lo tanto, cuando X vale 1 entonces Y vale +4.89, pero al mismo tiempo vale -4.89,  o sea: Si X=1, Y= ± 4.89. Igual si X=-1, Y= ± 4.89 Igual sucede con los demás valores de X. De esta manera al graficar la ecuación resulta la circunferencia completa tal como puedes verlo en la primera imagen.

La razón de poner un signo más y menos al mismo tiempo en la expresión, se debe a que la ecuación es algebraica de segundo grado y siempre que se presentan raíces cuadradas al despejar cualquier variable se les antecede un signo positivo y negativo, ¿recuerdas la ecuación cuadrática en donde la raíz cuadrada es al mismo tiempo positiva y negativa?

Entonces tenemos una tercera conclusión. Siempre que se grafique la ecuación de una circunferencia el resultado de la raíz cuadrada debe considerarse positivo y negativo a la vez.

Del proceso de graficar vamos a A-NA-LI-ZAR los resultados.

1. Al graficar resultó solo media circunferencia lo cual se “arregla” haciendo positiva y negativa la raíz cuadrada que resulta al despejar la X, procedimiento matemático perfectamente legal.

2. Si asignamos a X un valor mayor de 5, resultará la raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible resolver porque se trata de números imaginarios. Por lo tanto los valores permitidos de X llegan solo hasta 5.

3. Si asignamos valores negativos a la X, por ejemplo X=-3 los resultados para Y son iguales que cuando asignamos valores positivos, e igual solo son posibles (en este caso) hasta -5

4. De los puntos anteriores: 2 y 3, concluimos que la X solo puede recibir valores entre +5 y -5 o bien, escrito de otra manera: X mayor o igual que -5 y menor o igual que 5, escrito de otra forma: -5 ≤ X ≤ +5, lo cual leído sería: X solo puede recibir valores menores o iguales que 5 o valores mayores o iguales que menos 5. Otra forma de decirlo sería: el dominio de X está comprendido entre los valores de 5 y -5, incluidos ambos.

5. Si revisas detenidamente la expresión: X2+Y2=25, siempre que exista una ecuación parecida a ésta, por ejemplo: X2+Y2=16; X2+Y2=9; X2+Y2=36; X2+Y2=1, Etc. Etc., atiende al valor numérico que tiene la expresión, simplemente extrae raíz cuadrada al número que tenga y lo que resulte es el radio de la circunferencia, ¡¡así de fácil!!

Por ejemplo en: X2+Y2=16 al extraer raíz cuadrada al 16 resulta 4, entonces la circunferencia tiene centro en el origen y un radio 4. ¡Más fácil no puede ser! Para comprobarlo despeja Y de la ecuación y grafícala.

En Geometría A-NA-LI-TI-CA muchas veces con solo inspeccionar una ecuación -sin graficar nada- descubrimos lo que representa.

logowpbeige


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