Tópicos de Geometría Analítica.

2 09 2009

Tema 16. Paralelismo entre dos o más rectas.

Actualización: Septiembre 2 de 2009
Fecha de publicación inicial: Sept. 12 de 2007

Iniciemos nuestro estudio con un problema.

Grafica las siguientes rectas: Y=2X-1; Y=2X+3; Y=2X+7

Rectas PARALELASDe los valores que asignes a X -independientemente de cuales sean- resultarán rectas similares a la gráfica de al lado.

Estamos en Geometría A-na-lí-ti-ca, de tal manera que al a-na-li-zar la gráfica obtenemos las siguientes conclusiones.

1. Observa que una recta cualquiera de las tres, siempre conserva la misma distancia (separación) respecto de las otras dos, esto nos lleva a la siguiente conclusión elemental (que ya debías conocer con anticipación): dos rectas que son PARALELAS no se cruzan jamás.

2. A partir de la gráfica puedes ver que dos rectas PARALELAS entre sí, tienen sus ángulos de inclinación (a) exactamente iguales respecto al eje de las X, o si quieres respecto al eje de las Y.

3. Otra conclusión sería: en dos o más rectas PARALELAS las pendientes son exactamente iguales, es decir que: m1=m2=m3

Este último dato debes conservarlo en tu memoria, porque te va a servir más adelante.

Ahora retrocede hasta las ecuaciones de las cuales obtuviste su gráfica y busca algo común en las tres que a don René Descartes le llevó un buen tiempo descubrir.

Trata de descubrirlo antes de darle un “clic” a:

Supongo que lo notaste, el número que aparece antecediendo a la X, (matemáticamente llamado coeficiente), es el mismo en las tres ecuaciones.

Cuando dos, tres o más ecuaciones estén “acomodadas” en forma semejante a las que son motivo de este análisis, el coeficiente de X es la PENDIENTE de la ecuación. Por lo tanto, por simple inspección de cualquier grupo de ecuaciones podemos concluir si dos o más representan rectas PARALELAS. Si sus pendientes son iguales, o sea, si el número que antecede a la X es igual en dos, tres o más ecuaciones, representan rectas paralelas.

Entonces…

4. En una ecuación que esté “acomodada” de la siguiente forma:

Y=5X+1, Y=2X+10; Y=-6X-2; Y=10X+3; Y=4X+5; etc, o más general:

Y=mX+b

en donde b puede ser cualquier número (denominado constante arbitraria), incluso puede ser cero, el número que acompaña (multiplica) a la X es la pendiente de la recta.

En realidad no tienes que hacer ningún cálculo para determinar la pendiente de una recta, simplemente con que la “acomodes” de la forma Y=mX+b te darás cuenta de cual es su pendiente y su ángulo de inclinación, y además podrás saber si dos o más rectas son paralelas.

Por ejemplo: Sea la ecuación 4X+2Y=10 hallar la pendiente de la recta que representa.

Observa que puedes dividir toda la ecuación entre 2, quedando…

2X+Y=5, luego…

Y=-2X+5

Por lo tanto la pendiente de la recta es -2

¡¡¡Así de fácil!!!

Determinar si las siguientes ecuaciones representan rectas PARALELAS.

3X+Y=7
4Y=-12X-16

Reacomodando términos en la primera ecuación queda:

Y=-3X+7

Dividendo la segunda ecuación entre 4 que es el coeficiente de la Y queda:

4Y/4=(-12X-16)/4;

Y=-3X-4

Entonces comparando ambas ecuaciones vemos que:

Y=-3X+7
Y=-3X-4

¡Ambas rectas son PARALELAS!

Del a-ná-li-sis de las ecuaciones se desprende la siguiente pregunta que nos lleva a algunas conclusiones.

¿Qué es lo que tienes que hacer con una ecuación para saber cual es la pendiente de la recta que representa por este método?

Respuesta: solo tienes que hacerla que se parezca a la ecuación: Y=mX+b, llamada técnicamente ecuación de la recta en su forma de pendiente y ordenada al origen.

Para ello:

1. A veces solo tendrás que despejar Y.

2. A veces solo tendrás que dividir toda la ecuación entre un número de tal manera que el coeficiente de la Y se “convierta” en uno (o como se dice comúnmente dicho coeficiente “se elimine”).

3. A veces tendrás que hacer ambas cosas. ¡Lo siento!

Solo por practicar… resuelve las siguientes ecuaciones y encuentra las que representen rectas paralelas.

1) 3X+2Y=4
2) X+2Y=6
3) 3X-2Y=14
4) (1/2)X+Y=6
5) 3X+Y=4
6) -6X+6Y=6
7) (3/2)X+2Y=4
8) -X+Y=6
9) 12X+4Y=4
10) X+2Y=10

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