Tópicos de Geometría Analítica.

24 07 2009

Tema 8. Construyendo ecuaciones de circunferencias.

Actualización: Julio 22 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Agosto 6 de 2007.

Hace días visitando a un conocido mío (cosa rara que ande de visita), al llegar a su casa vi que su gato estaba dormido en una curiosa posición formando una circunferencia casi perfecta, el caso es que me pregunté: ¿Cuál será la ecuación que rige la circunferencia del gato de acuerdo a su postura?

GatoDormido1Separando los dedos de mi mano derecha tomé la medida del punto central a su lomo sin despertarlo, vi que coincidía con la distancia que hay entre los extremos de mis dedos pulgar y medio.

Más tarde cuando llegué a mi casa medí la distancia y resultaron 21 Cms.

Con esta medida obtuve el radio de la circunferencia que formaba el gato: 21 Cms.

Luego utilicé una fórmula que inventó don René Descartes: X2+Y2=R2

En donde X es la abscisa, Y es la ordenada y R es el radio de la circunferencia que formaba el gato.

Entonces, sustituyendo el radio resulta: X2 + Y2 = (21)2 = 441 o bien:

Y = √ (441 – X2)

Si el Sistema Coordenado de la figura estuviera exactamente en el centro de la circunferencia, es decir, el punto rojo (origen) encima del punto blanco (tal como indican las líneas punteadas), la anterior sería la ecuación que regiría la circunferencia que forma el gato dormido.

¿Complicado?…

Ahora determinemos la ecuación que rige la circunferencia del iris de un ojo. Al medir el diámetro del iris resultan 1.2 Cms, por lo tanto el radio que es la mitad del diámetro queda de 0.6 Cms.

RadioIris1Aplicando la fórmula de don René, resulta:

X2 + Y2 = (0.6)2 = 0.36

o bien,

Y = √ (0.36 – X2)

Si el Sistema Coordenado de la figura estuviera exactamente en el centro de la circunferencia del iris, la anterior sería su ecuación.

Finalmente… determinemos la ecuación que rige la circunferencia del iris de un ojo, pero del gran ojo de una galaxia que está en el espacio profundo de nuestro universo y “desde ahí nos observa”. Supongamos que la medida de su radio es de 10 millones de años luz, entonces:

X2 + Y2 = (10)2 = 100

o bien,

Y = √ (100 – X2)

Si el Sistema Coordenado de la figura estuviera exactamente en el centro de la circunferencia que forma la galaxia, la anterior sería su ecuación.

Galaxia1Supongo que ya habrás entendido como se hacen las ecuaciones si de circunferencias se trata, es relativamente sencillo cuando se trata de circunferencias con “centro en el origen”, solo sustituyes el radio y “san se acabó”.

Ahora bien, si se tratara de ecuaciones con centro de la circunferencia fuera del origen, tendrías que utilizar otra “fórmula” (la cual veremos más adelante).

El problema es entender cómo llegó el señor Descartes a determinar la fórmula: X2+Y2=R2 que oficialmente llamó: Ecuación de una circunferencia con centro en el origen.

Luego hizo otra que denominó Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen: (X-h)2+(Y-k)2=R2, con la cual determinaba ecuaciones de circunferencias que tenían referencia un punto distinto al punto origen del Sistema Coordenado Cartesiano, como es el caso de todas las figuras mostradas aquí.

En fin, todavía hay mucho que hablar acerca de las ecuaciones de circunferencias, pero eso será en otra ocasión.

En el próximo tema veremos de dónde surgió la expresión: X2+Y2=R2¡Don René y sus cosas!

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4 responses

7 10 2008
"TRISTE Y AZUL" » Y = √ (441 – X2)

[…] He trobat una cosa. […]

5 09 2008
alex

Necesito saber si la geometria analitica me sirve para determinar el radio de un cocker spaniel al dormir se puede hacer ese calculo?
…………….

Hola Alex…
¡Ja! Dejé tu “pregunta-broma”, porque me da pie para comentar lo siguiente.
En teoría puedes hacer ecuaciones para todo. René Descartes decía que la naturaleza puede expresarse a través de ecuaciones, y no andaba tan errado, porque actualmente se busca una teoría llamada del “campo unificado” que integre a todas las fuerzas conocidas, como son: fuerza gravitacional, energía etc, que permita encerrar en una expresión matemática todo lo que existe. La teoría del campo unificado es la ecuación que lo encierra todo.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

20 01 2008
iguerrero

Hola Jacqueline…

Más que aprenderte de memoria un problema -o varios- resueltos por otra persona, te convendría más entender como es el proceso para la obtención de una gráfica a partir de la ecuación de una circunferencia y viceversa.

Pero si buscas ejercicios resueltos hay un libro de: Anfossi, Flores Meyer llamado Geometría Analítica (soluciones). Ahí puedes encontrar muchos, indicando la fórmula empleada.

Saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

20 01 2008
jacqueline hernandez

De favor apoyeme en lo siguiente:

ejemplos con resultados de calculos de problemas de ecuacion de la circunferencia dentro y fuera del origen, de preferencia apoyarme con sus formulas en caso contrario favor de indicarme que libro consultar

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