Tópicos de Geometría Analítica.

8 09 2009

Tema 17. Perpendicularidad entre dos rectas.

Actualización: Septiembre 06 de 2009
Fecha de publicación inicial: Septiembre 13 de 2007

Iniciemos nuestro estudio igual que lo hicimos en el tema anterior, determina la gráfica de las siguientes ecuaciones.

Y=-2X+1
Y= (1/2)X-3

Problema1Al graficarlas obtendrás algo semejante a lo que ves en la imagen de al lado. Ahora a-na-li-ce-mos lo que obtuviste.

¿Qué observas en la gráfica?
¿Las rectas se cruzan formando ángulos de 90º? Puedes medir con tu transportador.

Analizando las ecuaciones de las cuales se originaron ¿observas algo similar en ellas? Olvídate del tres y del uno, atiende solamente a los coeficientes de la X (el número que la acompaña). Tienes que encontrar una relación entre los dos números.

Antes de dar un “Clic” en Leer el resto de esta entrada… debes haber encontrado algo que es común en ambas ecuaciones.

Del análisis del par de ecuaciones debiste haber determinado lo siguiente.

1). Los coeficientes de X son inversos.
2). Los coeficientes de X tienen signo contrario.

Cuando dos ecuaciones escritas de la forma: Y=mX+b tienen el coeficiente de X inverso y de signo contrario, representan a dos rectas perpendiculares entre sí. Ahora bien ¿es suficiente con el análisis que hiciste?

A mi juicio sería suficiente con un buen a-ná-li-sis, sin embargo no nos quedaremos ahí y comprobaremos lo que descubriste.

Pero… ¿Cómo hacerlo? ¿Cómo comprobar que efectivamente descubriste una propiedad entre dos rectas?

Lo comprobaremos de la siguiente manera (no es la única forma de hacerlo).

Para el par de ecuaciones sabemos que: m1=-2 y m2=1/2 son las pendientes de ambas.

De lo que hemos visto anteriormente: si hacemos tg α = m1 e igual tg α = m2, con ambas expresiones podemos determinar los ángulos que tienen las dos rectas respecto del eje de las X.

Para la primera expresión: Tg α1 = m1; α1 =tg-1(-2)=-63.43º

Para la segunda expresión: Tg α2 = m2; α2 =tg-1(1/2)=26.56º

Por el punto de intersección (cruce) de ambas rectas traza una paralela al eje X.

El primer ángulo (-63.43º, recta azul) se abre en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que el otro (26.56º recta amarilla) se abre en sentido contrario a las manecillas del reloj. Suma ambos ángulos -sin atender al signo- para ver el ángulo que hay entre ambas rectas y te darás cuenta de que existe un ángulo aproximado de 90º. Si al sumar, utilizáramos todos los decimales de cada ángulo resultarían los 90º exactamente.

E ahí la comprobación. Entonces, concluyamos ahora con mayor seguridad.

Cuando las pendientes de dos rectas son reciprocas e inversas de signo contrario, ambas rectas son PERPENDICULARES entre si.

A esa conclusión llegó don René Descartes después de varios años de estudiar ecuaciones, y a eso mismo llegaste tú en unos minutos, mira que hemos avanzado…

Solo por practicar resuelve los siguientes ejercicios. Determina a-na-li-ti-ca-men-te (solo inspeccionando las ecuaciones) los pares que representen rectas perpendiculares. A manera de comprobación grafica un par.

1.) Y=4X-2
2.) Y=(1/6)X+2
3.) Y=-(1/4)X-1
4.) Y=(2/5)X+5
5.) Y=-6X-3
6.) Y=(5/2)X+6
7.) Y=-(2/5)X+2
8.) Y=-(5/2)X+3
9.) Y=(2/3)X+1
10.) Y=-(3/2)X-10

logowpnegroazul


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3 responses

2 06 2011
irving lozano

Muchisimas gracias por estos aportes tan claros y tan bien explicados, me son de gran utilidad, espero poder hacer asi una pagina de algebra para compartir mis conocimientos. Le agradezco nuevamente el compartir conocimientos para poder superarnos. Saludos

1 11 2010
LUIS NAVARRETE

Muy buena su parte descriptiva e ingeniosa su parte narrativa. Encuanto al tema le faltó una versión vectorial del mismo y también la parte espacial de la recta(en tres coordenadas: x,y,z).
………….

Hola Luis…
Gracias por tu comentario.
La intención de estos temas no es la de profundizar en los mismos, están hechos solo para despertar el interés de los jóvenes y cubrir de manera somera los programas de estudio de las escuelas del NMS. Me parece que algo que hemos olvidado los profesores de matemáticas es empatar la teoría con la realidad y eso ha traido como consecuencia que los jóvenes se pierdan en los temas no llegando a saber incluso para que sirve lo que hacen (te lo digo porque lo he visto).
De cualquier manera si más adelante tengo tiempo no dudes que ampliaré los temas vistos.
Un saludo cordial hasta donde estés.
Ing. I. Guerrero Z.

18 10 2010
Estudiante de Nic

Que buen material, muy útil (:

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