Tópicos de Geometría Analítica.

6 08 2009

Tema 11. Manipulación algebraica de la Ec´n. Ordinaria de la Circunferencia con Centro Fuera del Origen, para obtener su Ec´n. General.

Segunda actualización: Agosto 05 de 2009.
Primera actualización: Diciembre 02 de 2008.
Primera publicación: Agosto 19 de 2007.
……………………

En el tema anterior concluimos que: (X-X1)2 + (Y-Y1)2 = R2

ConversionSi escribimos la expresión anterior como:

(x-h)2 + (y-k)2 = r2, haciendo X1=h, Y1=k, y R=r, ten por seguro que no se molestarán ni Descartes, ni tus papás (pregúntales si quieres), mucho menos el señor que vende globos en el parque. Así que en lo sucesivo utilizaremos ésta última expresión que es más usual en los libros de Geometría Analítica.

Ratificando: (X-X1)2+(Y-Y1)2=R2, es exactamente lo mismo que:

(x-h)2 + (y-k)2 = r2

Ahora “manipulemos” algebraicamente a esta última expresión.

Primero desarrollaremos los binomios al cuadrado.

(x-h)2 + (y-k)2 = r2

x2-2hx+h2+y2-2ky+k2 = r2

Reacomodando términos quedaría:

x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0

Revisa bien todos los términos y las manipulaciones que hice pues es muy fácil perderse. La r2 al pasar del otro lado del símbolo igual pasa efectuando la operación contraria, es decir restando y como no queda nada del lado derecho ponemos un cero. Bien…

Ahora haremos una serie de igualaciones -igual hicimos al principio cuando igualamos x1=h, e y1=k.

Hagamos: D=-2h; E=-2k, y F= (h2 + k2 – r2)

Sustituyamos la D, E, y la F en la expresión que habíamos determinado:

x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0, sustituyendo queda:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, ¡Ooook´!

A la expresión anterior se le llama Ecuación General de la Circunferencia.

¿Y esta maravillosa ecuación para que nos sirve?

Conversión2Físicamente ¡para NADA! Matemáticamente sirve para identificar de todo un montón de ecuaciones, la que correspondiera a una circunferencia.

También sirvió para recordar el desarrollo de un binomio al cuadrado (el cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo…), también nos permitió recordar despejes y sirvió además para que te entretuvieras un rato y no les dieras lata a tus padres (o a tus hijos si ya eres padre o madre).

Entonces, cuando veas una expresión parecida a la Ecuación General de la Circunferencia: x2+y2+Dx+Ey+F=0, por ejemplo:

x2+y2-8x+6y+29=0

debes saber que se trata de la ecuación de una Circunferencia, igual que si ves

x2+y2-4x-6y-12=0

¿Y que valores tienen D, E y F en las dos ecuaciones?

En la primera ecuación: D=-8, E=6 y F=29 En la segunda: D=-4, E=-6 y F=-12, pero, compliquémoslo un poco, ¿cuál sería el radio (r) y el centro (h, k) de la segunda circunferencia?

Si la ecuación es: x2+y2-4x-6y-12=0, reacomodando términos queda:

x2-4x+y2-6y = 12.

Separando términos quedaría: (x2-4x) + (y2-6y) = 12.

Puedes ver que nos hace falta un término para completar un trinomio cuadrado perfecto (tres partes que nos permitan simplificar a dos). Para encontrar el término faltante necesitamos aplicar el método de completar cuadrados.

Si recuerdas… se toman los coeficientes de x e y, se dividen entre 2 y se elevan al cuadrado, resultando:

(-4/2)2 = (-2)2 = 4; (-6/2)2 = (-3)2 = 9

Ambos resultados se suman en las dos partes de la ecuación de tal manera que pueda percibirse la formación del trinomio cuadrado perfecto:

(x2-4x+4)+(y2-6y+9)=12+4+9

Extrayendo raíz cuadrada al primer y tercer miembro de cada parte: (√x2=x; √4=2; √y2=y; √9=3) y agregando el signo del segundo término -en cada parte, se obtienen los binomios al cuadrado que conforman la ecuación:

(x-2)2 + (y-3)2 = 25;

La cual como puedes observar se trata de la forma ordinaria de la ecuación de una circunferencia, a partir de la cual se obtiene el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia por simple inspección, quedando:

r =√ 25 = 5 y C (2, 3).

¿Difícil? Resuelve la otra siguiendo el mismo procedimiento y escribe un comentario con el resultado.

Ejercicios. Determina las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia encerrada en cada una de las siguientes expresiones.

x2 + y2 + 2x + 4y – 4 = 0
Solución.

x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
Solución.

x2 + y2 – 12x – 4y + 36 = 0
Solución.

x2 + y2 – 2x – 2y -14 = 0
Solución.

x2 + y2 – 4y = 0
Solución.

x2 + y2 – 12x – 12y + 36 = 0
Solución.

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3 responses

31 07 2010
LILIA

Hola buenas tardes! mi nombre es Lilia deseo saber si al ranurar para cableado elèctrico es necesario retirar todo el resto de material incluyendo lo màs posible de polvo ,para resanar? es que los electricistas que me hicieron el trabajo no resanan porque dicen no saber ,(jajaja) .
Y bueno mi preòcupaciòn va màs alla ,porquè mi casa ,su casa es una construcciòn de hace màs de cien años y aunque es doble muro ,francamente el argumento de los albañiles, de que “no pasa nada”no me sasisface.
Un gran abrazo!! y de antemano gracias por su atenciòn.
………….

Hola Lilia…
Espero haber entendido bien tu comentario.
Lo mejor es resanar, y además es estético, aunque como te dijeron tus electricistas “no pasa nada” si no lo haces.
Te envío saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

3 01 2009
José

Hola mi nombre es José Luis…estaba navegando por internet y encontre su blog…me parece un gran trabajo pero sabe….la verdadera razon por la que le escribo es porque necesito ayuda de alguien…usted es profesor y por eso supuse que me podria ayudar…soy estudiante universitario….estoy en primer semestre y tengo problemas con calculo de una variable…usted tiene msn ?…si me podria por favor ayudarme e iluminarme con su conocimiento le estaria muy agradecido….si no puede o no tiene tiempo para algo asi…pues de antemano muchas gracias y feliz año nuevo =)
………..

Hola José…
Me encantaría ayudarte pero si lo hago contigo (en matemáticas) te aseguro que no me alacanzaría el tiempo para contestar a todas las preguntas que me hicieran. Busca en los foros, seguro habrá quien te pueda orientar al respecto.
Te envío saludos y feliz 2009.
Ing. I. Guerrero Z.

27 11 2008
victor

Porfa ayudenme a resolver estos problemas se los agradeceria mucho.
1.-como quedaria la ecuacion de la circunferencia en su forma general: c(0,0) radio= 2/5.
2.- encontrar la distancia de la recta al punto dado 3x-4y-12=0; p(-2,-1).
3.-determinar la ecuacion de la circunferencia que pasa por c( 3,-3/5); r=1/2,y graficarla.
4.-encontrar las cordenadas del centro y el radio de la siguiente circunferencia: 3Xcuadrado+3ycuadrado-9x+12y-21=0
…………….

Hola Victor…
Todo lo que me preguntas está ubicado en Categorías: Geometría Analítica, tienes que resolverlo tú, no tiene caso que alguien te resuelva el o los problemas, así no aprendes. Te dejo el enlace:
https://iguerrero.wordpress.com/category/geometria-analitica/
Saludos y suerte en tu búsqueda.
Ing. I. Guerrero Z.

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