Tópicos de Geometría Analítica.

3 08 2009

Tema 10. ¿Y la expresión: X²+Y²=R² ?

Actualización: Agosto 2 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Agosto 13 de 2007.

Veamos cómo diablos llegó don René a la fórmula: X² + Y² = R², a la cual llamó Ecuación de la Circunferencia con Centro en el Origen. Espero que la figura que hice para demostrarlo no te revuelva el estómago. En realidad es fácil interpretarla. Iremos paso a paso, detalle por detalle, sin tantos “rollos” matemáticos (aprecio a quienes demuestran lo mismo utilizando: axiomas, postulados y teoremas, pero mi  camino es otro).

Demostracion1. ¿Qué hay en la gráfica? Tenemos un sistema coordenado cartesiano y una circunferencia. Señalamos un punto P de la circunferencia cuyas coordenadas serán: P(X, Y), también tenemos su punto central el cual indicaremos como: P1(X1, Y1).

Del punto P1 al punto P está indicada la distancia d, luego formamos un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b, quedando como su hipotenusa la distancia d. Bien… hasta ahora solo hemos puesto letras y puntos. Espero que no sea necesario explicarlo con “manzanitas”.

2. La clave está en el triángulo que se forma a partir de la distancia d ya que puedes interpretarla de tres maneras: A). Como distancia del punto P1 al punto P. B). Como el radio de la circunferencia, y C). Como la hipotenusa de un triángulo. Las tres cosas en este caso son EXACTAMENTE LO MISMO.

En otras palabras: Distancia = Radio = Hipotenusa o bien: d = r = h

3. Pero ya sabemos por el teorema de Pitágoras que la hipotenusa de un triángulo es: hip = √ (a²+b²) sin embargo como h = r = d entonces: d = √ (a²+b²) ¿Ok? O también puedes hacer: r = √ (a²+b²)

4. Pero, pero, pero… también sabemos que podemos proyectar los catetos hacia los ejes y determinar su valor, “restando la coordenada final menos la inicial” por lo tanto los catetos a y b quedarían: b = X-X1 y a = Y-Y1, entonces regresando al punto 3 sustituyendo estos nuevos valores en r = √ (a²+b²) quedaría: r = √ ((X-X1)² + (Y-Y1)²)

5. “Pasando” la raíz cuadrada del otro lado de la expresión quedaría:

r² = (X-X1)² + (Y-Y1)² o igual:

(X-X1)² + (Y-Y1)² = r²

¡Terminamos!

Don René llamó a la ecuación anterior: Primera Ecuación Ordinaria de la Circunferencia, o Ecuación de la Circunferencia con Centro Fuera del Origen.

Ahora bien, si el punto P1 está en el origen del sistema coordenado cartesiano, coordenadas (0,0), X1=0, Y1=0, entonces al sustituirlas en la ecuación anterior la fórmula se reduce a:

(X-X1)² + (Y-Y1)² = r²; (X-0)² + (Y-0)² = r²; (X)² + (Y)² = r²; por lo que:

X² + Y² = r²

¡¡E ahí René Descartes descubierto!! E ahí la simplicidad de lo que hizo y que seguramente le llevó muchos años de su vida. Y tú lo has entendido en unos minutos, entonces cuando te digo: tienes la capacidad e inteligencia mayores que tus antepasados, incluso que estos grandes hombres de hace varios cientos de años, estoy en lo cierto.

logowpverdenaranja


Acciones

Information

10 responses

3 03 2008
Mauricio

Hola, hace poco estaba explorando la pagina pues tenia examen de geometria analitica, es una pagina excelente, bastante bien explicada, espero pueda continuar con mas temas. Estoy interesado en estudiar ingenieria mecanica automotriz asi es que estare por aqui bastante seguido,saludos y gracias.

27 01 2008
ysahect romero

Soy de venezuela y encontre esta pagina en el buscador.., me parece que es bien explicita a la hora de ver de los ejercicios.., me ha servido con las dudas q tenia sobre el tema de circunferencia.. Gracias.!!

4 11 2007
iguerrero

Hola Marcial…

Si te refieres al trazo de curvas utilizando escuadra, compás y transportador, aunque no imparto Geometría tradicional de cualquier manera te pongo un enlace para que bajes un archivo en donde están contempladas tus dudas, contiene además muchos otros trazos.

El archivo es PDF, por lo tanto puedes dar un click con el botón derecho en el enlace para bajarlo a tu PC o bien abrirlo desde donde está ubicado dando un click con el botón izquierdo.

Saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

4 11 2007
Marcial Guevara

… hola me llamo Marcial Guevara de puebla puebla Mex. y buscando una tarea me encontre con su pagina y la verdad me llamo mucho la atencion asi mismo tiempo quisiera saber como es q se hace “un circulo, un elipse, y un arco graficamente dando sus focos, diametros tanjentes etc… estoy en 1er semestre de Ing, Mecanica en el tec de puebla y no le entiendo a la prefesora ojala me pudiera ayudar de antemano muchas gracias
saludos…

26 09 2007
iguerrero

Hola Colega…

Coincido totalmente contigo.

Creo que la Reforma Educativa tiene serias dificultades, tantas que el nivel educativo de los alumnos a mi juicio ha bajado. Me parece que la SEP busca “emparejar” en conocimientos no hacia arriba sino hacia abajo.

Solo puedo comentarte de mi plantel -de los demás no me atrevería a asegurarlo- pero en nuestro caso el nivel de reprobación en curso normal aumentó, aunque al final, con tantas oportunidades los alumnos acreditan las asignaturas. No tengo el dato exacto pero tengo entendido que la eficiencia terminal en lugar de aumentar disminuyó, o si acaso se mantuvo igual.

En lo personal no me agradan las secuencias didácticas -ahora ECA´s- porque requieren demasiado tiempo para hacerlas y al final de cuentas “limitan” al docente a seguir una línea particular. Me parece mejor un modesto “Plan de Clase”, acorde a las características del grupo y nada más.

Ya lo he dicho en otros espacios, el Profesor que sabe de lo que habla no requiere escribir 20 hojas para programar lo que debe hacer en un grupo. Basta con que se presente al aula y coordine las acciones particulares para el aprendizaje de los temas, controle al grupo y se apoye en algunos recursos didácticos.

Un abrazo Colega Trinidad.

Ing. I. Guerrero Z.

26 09 2007
Trinidad Vega Valenzuela

Hola Ing. I. Guerrero Z.
Reciba saludos cordiales
El comentario es con respecto a las secuencias didácticas que la nueva reforma exige para desarrollar los temas, le agradecería mucho que me enviara un comentario sobre el nivel académico que alcanzan nuestros alumnos, si considera que hay mayor progreso. En lo personal considero que los esta haciendo más flojitos, por que al final del curso se le dan todo tipo de oportunidades para aprobarlo, además, en el nivel superior les imparten los cursos que corresponden a matemáticas como nosotros lo aprendimos con °x y Y° es to es, puramente abstracto. operaciones algebraicas y leyes de los signos. La evaluación se basa en gran porcentaje en demostrar los conocimientos mediante un examen escrito, sino se aprueba hay que buscarle por otra parte por que estas reprobado. además no recortaron a cuatro modulos semanales para matemáticas y por lo general no se tratan al 100% los temas de cada curso.

Agradeciendo de antemano su atención, le reitero mi amistad y respeto.

Hasta pronto

Profr. Trinidad Vega Valenzuela

21 09 2007
iguerrero

Hola Colega Trinidad…

Te agradezco el comentario.

Efectivamente al revisar lo que me dices, X-X1, Y-Y1 estaban cambiadas de lugar, aunque ambos sabemos que eso no afecta para nada la demostración (a, b y c pueden estar acomodadas en donde se nos pegue la gana). Pasó -si es que sirve como excusa- que dibujé una vez la gráfica y la desheché porque no me gustó, pero -maldita la cosa- la hice otra vez y cambié la a y la b de lugar.

En fin, menos mal que lo detectaste, lo cual te agradezco infinitamente, pues mi deseo no es “enredar” más de lo que ya están “enredados” los alumnos y a la gente que lee por aprender, sino encontrar otras formas -quizá más actuales y menos formales- de decir las cosas.

Te pido por favor Colega, que continues revisando todos los demás temas y si encuentras algo más me lo hagas saber, no sobre la forma de decir o explicar las cosas -que es mi estilo personal- sino sobre el desarrollo y manejo de literales ya que -seguro debes haberlo experimentado tu también como profesor- es fácil que se le escape a uno algún número o letra mal puesto o mal calculado.

¿Contrariarme? Para nada Colega. Se que hay matemáticos mucho mejores que yo impartiendo cátedra (es probable que tu seas uno de ellos), pero -y eso no lo entiendo todavía- no se por qué “¡demonios!” no se deciden a escribir lo que saben, con su propio estilo e ideas…

Te reitero mi agradecimiento y te envio un cordial saludo.

Ing. I. Guerrero Z.

20 09 2007
Trinidad Vega Valenzuela

Reciba saludos cordiales
Mi nombre es Trinidad Vega Valenzuela, Soy profesor en el área de matemáticas, me puse a buscar información sobre la circunferencia, y me encontre con su página, me llamo mucho la atención el estilo con que inicia y caí en la curiosidad de como diablos Descartes llegó a la ecuación.
Al ir siguiendo los pasos observo que en la figura al cateto °a° lo anota sobre el eje °y° y el cateto °b° en el eje °x°, pero, en el paso 4 al asignar variables considero que los cambia, esto es, al cateto °a° le asigna el eje °x° (a = X-X1) y al cateto °b° le asigna el eje °y° (b= Y-Y1), como la operación es una suma, nada más hay que cambiar los catetos, y considero que es más fácil y rápido hacerlo en el paso 4 que en la grafica, para que coincida la información de lo grafico con lo analítico. Espero no estar equivocado y si lo estoy hagame el gran favor de corregirme.
Seguiré visitando su página, no con el afán de hacer observaciones, sino, por que me interesa la forma en como inicia el comentario del tema.
Hasta pronto, y espero no haberlo contrariado.
Trinidad Vega Valenzuela
CBTA No. 97 Basconcobe, Etchojoa, Sonora.

13 09 2007
iguerrero

Hola Emmanuel…

Ok´yo le paso tus recuerdos al más allá a Don rené Descartes, espero que Dios haya tenido la bondad de permitir que la red llegue hasta el cielo, y espero también que esté ahí Don René…

Más adelante escribiré sobre cálculo diferencial y quizá lo haga con cáculo integral, temas que me parecen muy interesantes, sobre todo porque les permiten a ustedes estudiantes y a la gente que estudia solo por aprender ingresar a otro nivel de conocimientos. De hecho la Geometría Analítica es ya otro nivel en donde algunas cosas que tienen los niños, adolescentes y jóvenes perfectamente inculcadas en su mente empiezan a perder algo de su fuerza, en otras palabras “la naturaleza te muestra el azul, pero si tu quieres ir más profundo, descubres que el azul no es tan azul, más bien es una combinación de varios colores integrados en una ecuación llamada AZUL”, etc. etc. etc.

¡Ah! me gustan las matemáticas… puedes estar seguro que seguiré escribiendo acerca de lo que sepa de ellas…

Recibe saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

13 09 2007
Emmanuel Perez Lara

Holap… bueno me llamo emmanuel soi de tijuana BC. mexico y pus su pagina esta muy bn lo digo por ke estoy en primer semestre en el tec de tijuana y pues me toco un profesor japones que para mi gusto no da bien las clases y pues de pura curiosidad me puse a investigar los temas no entendidos en esta pagina y pues se me hicieron mas faciles y entebndibles…..mis respetos la verdad esto si ayuda un monto espero que ponga cosas con referente a funciones y calculo….espero que lo haga y pues la pagina esta exelente, ahi me saluda a don Rene Descartes jejejeje bye

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s




A %d blogueros les gusta esto: