Tópicos de Geometría Analítica.

11 09 2009

Tema 18. Ángulo de la recta que se forma al unir dos puntos dados.

Actualización: Septiembre 09 de 2009
Fecha de publicación inicial: Septiembre 14 de 2007

Vayamos directamente al grano. Resolvamos un problema.

Te doy dos puntos: P1(2, 3); P2(5, 6) que pueden representar los lugares en donde están dos cosas, por ejemplo dos autos, dos personas, dos planetas, dos hormigas, etc. Ubícalos en un Sistema Coordenado Cartesiano y determina:

AnguloEntreDosRectas11). Ángulo respecto al eje de las X, de la recta que se forma al unir P1 y P2.
2). Distancia (c) entre ambos puntos.

Solución.

1). Al colocar los puntos y unirlos mediante una recta resulta una gráfica como la de al lado, puedes prolongarla en sus extremos. Después –tal y como ya lo hemos hecho en otra ocasión- formamos un triángulo rectángulo (catetos a, b y c). De inmediato podemos ver que se forma un ángulo θ (theta) entre la recta y el cateto adyacente (a).

Nota. Recuerda que puedes utilizar las letras que quieras para designar a los catetos y a la hipotenusa del triángulo. Si no te gustan la a, b, y la c, utiliza otras, es perfectamente legal, puedes estar completamente seguro que no irá la policía de los escrúpulos matemáticos por ti (y si tienes un profesor que te dice que siempre deben ser: a, b y c; además en un orden específico, simplemente ignora sus palabras).

A estas alturas debes saber –o recordar- que hay una identidad trigonométrica denominada Tangente, la cual es igual al Cateto Opuesto (b) entre el Cateto Adyacente (a), matemáticamente:

Tg θ = Cat.Op./Cat.Adyac.

Pero el Cateto Opuesto (b) es exactamente igual a Y2-Y1, y el Cateto Adyacente (a) es exactamente igual a X2-X1, por lo tanto:

Tg θ = (Y2-Y1)/(X2-X1)

Entonces sustituyendo las coordenadas de los puntos quedaría:

Tg θ = (6-3)/(5-2) = 3/3 = 1

Luego… Leer el resto de esta entrada »





Tópicos de Geometría Analítica.

8 09 2009

Tema 17. Perpendicularidad entre dos rectas.

Actualización: Septiembre 06 de 2009
Fecha de publicación inicial: Septiembre 13 de 2007

Iniciemos nuestro estudio igual que lo hicimos en el tema anterior, determina la gráfica de las siguientes ecuaciones.

Y=-2X+1
Y= (1/2)X-3

Problema1Al graficarlas obtendrás algo semejante a lo que ves en la imagen de al lado. Ahora a-na-li-ce-mos lo que obtuviste.

¿Qué observas en la gráfica?
¿Las rectas se cruzan formando ángulos de 90º? Puedes medir con tu transportador.

Analizando las ecuaciones de las cuales se originaron ¿observas algo similar en ellas? Olvídate del tres y del uno, atiende solamente a los coeficientes de la X (el número que la acompaña). Tienes que encontrar una relación entre los dos números.

Antes de dar un “Clic” en Leer el resto de esta entrada… debes haber encontrado algo que es común en ambas ecuaciones.

Del análisis del par de ecuaciones debiste haber determinado lo siguiente.

1). Los coeficientes de X son inversos.
2). Los coeficientes de X tienen signo contrario.

Cuando dos ecuaciones escritas de la forma: Y=mX+b tienen el coeficiente de X inverso y de signo contrario, representan a dos rectas perpendiculares entre sí. Ahora bien ¿es suficiente con el análisis que hiciste?

A mi juicio sería suficiente con un buen a-ná-li-sis, sin embargo no nos quedaremos ahí y comprobaremos lo que descubriste.

Pero… ¿Cómo hacerlo? ¿Cómo comprobar que efectivamente descubriste una propiedad entre dos rectas?

Lo comprobaremos de la siguiente manera (no es la única forma de hacerlo). Leer el resto de esta entrada »





Tópicos de Geometría Analítica.

2 09 2009

Tema 16. Paralelismo entre dos o más rectas.

Actualización: Septiembre 2 de 2009
Fecha de publicación inicial: Sept. 12 de 2007

Iniciemos nuestro estudio con un problema.

Grafica las siguientes rectas: Y=2X-1; Y=2X+3; Y=2X+7

Rectas PARALELASDe los valores que asignes a X -independientemente de cuales sean- resultarán rectas similares a la gráfica de al lado.

Estamos en Geometría A-na-lí-ti-ca, de tal manera que al a-na-li-zar la gráfica obtenemos las siguientes conclusiones.

1. Observa que una recta cualquiera de las tres, siempre conserva la misma distancia (separación) respecto de las otras dos, esto nos lleva a la siguiente conclusión elemental (que ya debías conocer con anticipación): dos rectas que son PARALELAS no se cruzan jamás.

2. A partir de la gráfica puedes ver que dos rectas PARALELAS entre sí, tienen sus ángulos de inclinación (a) exactamente iguales respecto al eje de las X, o si quieres respecto al eje de las Y.

3. Otra conclusión sería: en dos o más rectas PARALELAS las pendientes son exactamente iguales, es decir que: m1=m2=m3

Este último dato debes conservarlo en tu memoria, porque te va a servir más adelante.

Ahora retrocede hasta las ecuaciones de las cuales obtuviste su gráfica y busca algo común en las tres que a don René Descartes le llevó un buen tiempo descubrir.

Trata de descubrirlo antes de darle un “clic” a: Leer el resto de esta entrada »





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31 08 2009

Tema 15. Distancias en un Sistema Cartesiano.

Distancia entre dos personas, objetos, cosas o puntos ubicados en un Sistema Coordenado Cartesiano, Coplanar, Rectangular, Bidimensional, etc.

Actualización: Agosto 31 de 2009
Fecha de publicación inicial: Sept. 10 de 2007

Pero, ¿acaso la Geometría Analítica fue inventada solo para resolver problemas de gasolineras y posición de automóviles como en el tema anterior? Además ¿solo sirve para medir distancias en sistemas rectilíneos?

MesabancosEs obvio que no.

Veamos posiciones de objetos por ejemplo en un salón de clases.

Supón que estás en un aula. En el piso puedes dibujar perfectamente un Sistema Coordenado Cartesiano, además coloca unos mesa-bancos en diferentes lugares (si tú lector/a eres profesor/a, lo puedes hacer físicamente poniendo alrededor del aula a la mayoría de estudiantes y colocando a algunos en el espacio restante del centro para medir distancias entre ellos).

Entonces tienes una situación física que puedes convertir a una situación matemática dibujando un Sistema Coordenado Cartesiano como en la figura de al lado.

Ahora calcula la distancia que hay entre los dos mesa-bancos indicados con color amarillo. Considera que cada cuadro del piso tiene lados de 1 Metro.

Aplicando la fórmula de la distancia:

d = √(x2-x1)2+(y2-y1)2

d= √(x2-x1)2+(y2-y1)2
d= √(4.5-(-3.5))2+(2.5-(-1.5))2
d= √(4.5+3.5)2+(2.5+1.5)2
d= √(82+42)
d= √(64+16)
d= √(80)
d= 8.94

Diviértete un rato, calcula otras distancias.

1). Procede a calcular la distancia para cada par de colores existentes en el gráfico.
2). Considera que cada espacio, segmento o cuadro mide 60 centímetros por lado y calcula la distancia en cinco casos.

logowpnegroazul





Tópicos de Geometría Analítica.

26 08 2009

Tema 14. Distancias en un Sistema Rectilíneo.

Actualización: Agosto 25 de 2009
Fecha de publicación inicial: Sept. 08 de 2007

Distancia NO DIRIGIDA entre dos objetos, cosas, personas, o puntos ubicados en un sistema rectilíneo.

Para saber la distancia que hay entre dos puntos colocados en un sistema rectilíneo, simplemente se restan la coordenada final menos la coordenada inicial.

Matemáticamente:

d =│X2-X1

Que se lee: la distancia no dirigida entre dos objetos es igual al valor absoluto de la diferencia entre sus dos coordenadas.

Ejemplo.

Un auto que va por una carretera está a una distancia de 6 kilómetros en línea recta respecto de una gasolinera, mientras que otro está colocado solo a 2 kilómetros de la gasolinera por la misma carretera. ¿Cuál es la distancia entre ambos automóviles?


Al contar los segmentos entre ambos automóviles se da uno cuenta inmediatamente que la distancia es de 4 Kilómetros. Todo se reduce a colocar los objetos (en este caso autos) en el lugar correspondiente en un Sistema Rectilíneo.

Sin embargo otro procedimiento implica utilizar la fórmula: d =│X2-X1 de la siguiente forma.

Primero hacemos: X1=2 y X2=6; entonces: d =│X2-X1│=│2-6│=│-4│= 4

El resultado es el mismo… Leer el resto de esta entrada »





Tópicos de Geometría Analítica.

26 08 2009

Tema 13. Dos caminos que se cruzan (rectas que se intersectan).

2da. Actualización: Septiembre 03 de 2009
1ra. Actualización: Octubre 06 de 2008
Fecha de publicación inicial: Septiembre 05 de 2007

Un problema físico y dos formas de resolverlo.

Dos autos conducidos a toda velocidad por dos cafres del volante transitan por dos tramos rectos de carreteras distintas, su trayectoria está representada por dos rectas cuyas ecuaciones son:

CruceAutosY=2x+1
Y=-x+4

Las preguntas son:

1). ¿Existe alguna posibilidad de choque y en que punto?
2). ¿Cómo se llamaban los conductores de ambos autos?

Primera solución. Graficando ambas ecuaciones.

Asignamos valores arbitrarios (los que se te pegue la gana) a la variable independiente (x) de la primera ecuación, por ejemplo: 0, 1, 2

Y=2(0)+1=1

Y=2(1)+1=3

Y=2(2)+1=5

Por lo tanto las coordenadas de los puntos resultantes (x, y) son: (0, 1); (1, 3); (2, 5).

Haciendo lo mismo con la otra ecuación:

Y=-x+4 Por ejemplo: 0, 1, 2, 3, y 4

Y=-x+4=-(0)+4=4; Y=-(1)+4=3; Y=-(2)+4=2; Y=-(3)+4=1; Y=-(4)+4=0

Por lo tanto las coordenadas de los puntos resultantes (x, y) son: (0, 4); (1, 3); (2, 2), (3, 1); (4, 0)

Resultando una gráfica como la de la figura de arriba, en donde podemos observar que las rectas se cruzan en Pc(1, 3). Observa que en ambas ecuaciones si x=1, resulta y=3.

Segunda solución. Resolviendo ambas ecuaciones aplicando uno de los métodos algebraicos conocidos: Reducción, igualación, sustitución y/o determinantes. Apliquemos uno ¿Cuál? El que recuerdes.

Tenemos un par de ecuaciones, para resolverlas, es decir, conocer los valores de X e Y, apliquemos el método de Igualación.

Y=2x+1
Y=-x+4

Igualándolas… Leer el resto de esta entrada »





Tópicos de Geometría Analítica.

20 08 2009

Tema 12. Tres problemas clásicos de la G. Analítica.

Actualización: Agosto 20 de 2009
Fecha de publicación inicial: Agosto 31 de 2007

Tercer problema.

Cálculo de la ecuación de una recta tangente a la circunferencia, conocidas las coordenadas del punto de tangencia y del Centro de la circunferencia.

Recta TG a una circunferencia2

Sean los puntos: Q(3, 4); P(5, 2); Centro y un Punto por donde pasa la recta tangente a la circunferencia. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto indicado P.

Análisis.

Para determinar la ecuación en la forma ordinaria de una recta como debes recordar (Tema 6) (Tema 7) se utiliza la expresión: y-y1=m(x-x1). Esta fórmula requiere del conocimiento de las coordenadas de un punto y la pendiente (M) de la recta de la cual se va a determinar su ecuación.

El punto de la recta es justamente: P(5, 2); así que solo falta conocer la pendiente de la misma.

Para determinar la pendiente de una recta se necesita conocer dos de sus puntos entonces la solución del problema se trunca por ese camino puesto que solo conocemos uno (P). Ahora bien, de la circunferencia conocemos dos puntos P y Q respectivamente… Leer el resto de esta entrada »








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