Modificando enfoques en los problemas de matemáticas.

Quienes impartimos asignaturas de matemáticas en los diferentes grados y especialidades, conocemos las dificultades que presentan estas en su aprendizaje. Poco atraen a nuestros alumnos, los cuales sólo cumplen con las tareas escolares impuestas a lo largo del curso pensando en obtener una calificación aprobatoria que les salve el semestre. Estudian para «pasar» la materia, no para aprender, esa es la verdad.

Sin embargo esta vez no será el escaso interés de los jóvenes por las matemáticas lo que analizaré aquí, esta vez quiero PROPONER una alternativa que además de abonar en la solución del problema, favorezca un posible cambio de mentalidad en los estudiantes. Ojalá que este escrito sea reforzado -o criticado- con opiniones de colegas docentes del área en cuestión y del resto que atienden asignaturas diferentes, ya que lo propuesto a continuación es aplicable en cualquier materia. Es algo sencillo de hacer pero que a fuerza de repetición tendría que repercutir en la manera de pensar y de actuar de los jóvenes, ¿cuánto? no lo sé.

Analiza los siguientes planteamientos para el mismo problema de Estadística básica.

-o-

Planteamiento 1. Calcula el promedio de los siguientes números.

14; 16; 10; 10; 15

Solución. 

Promedio = (14+16+10+10+15)/5 = 65/5 = 13

-o-

Planteamiento 2. Una empresa dedicada a la venta de pizzas tiene 5 trabajadores para entrega del producto a domicilio, los cuales un domingo entregaron las siguientes cantidades de pizzas.

14; 16; 10; 10; 15

Determina el promedio de ventas de ese día.

Solución. 

Promedio = (14+16+10+10+15)/5 = 65/5 = 13

El Promedio de ventas del día fue de: 13 Pizzas.

-o-

Antes de continuar te pregunto Lector/a: ¿Notas algo extraño en los planteamientos anteriores?.

Supongo que coincidiremos. Por supuesto que no hay nada raro en lo anterior, son planteamientos «normales». Esta forma de hacerlo es la clásica, la común, la que todos conocemos y con la cual nos enseñaron matemáticas nuestros profesores de antaño. También es la que está asentada en los libros que tratan acerca de temas de matemáticas.

Pero… y si lo hiciéramos de la siguiente manera:

Repaso de Aritmética y Algebra.

Tema 17. Manipulaciones algebraicas.

Convirtiendo expresiones.

Sucede con frecuencia -sobre todo en matemáticas superiores- al desarrollar un ejercicio finalmente resultan expresiones de este tipo:

= x÷√x

Muchos estudiantes dejan todo en este punto y la pregunta es:

¿El resultado mostrado: x÷√x es la mínima expresión?

Cabe mencionar que una de las cosas -y solo una- que buscan las matemáticas al resolver un problema, es llegar a la mínima expresión del resultado y el anterior no lo es exactamente, es un resultado sí, pero no es el más simple. Es como si en la solución de un problema dejaras todo igual a 2+3 ¿Qué no sería mejor llegar hasta el 5?

De igual manera la expresión anterior: x÷√x todavía puede simplificarse…

= x÷√x = x÷x^1/2 = x•x^-1/2 = x^1-1/2 = x^1/2 = √x

Una literal afectada por una raíz, puede expresarse como una potencia. Te doy más ejemplos.

√A = A^1/2 :::otro caso::: ³√X = X^1/3 :::otro caso::: ¹²√MN = (MN)^1/12

Por otra parte, al pasar una literal del denominador (abajo) al numerador (arriba) cambia el signo de su exponente.

1/√A = 1/A^1/2 = A^-1/2 :::otro caso::: 4/³√F = 4/F^1/3 = 4F^-1/3

Si la operación es a la inversa, es decir, si necesitas «mover» el numerador hacia el denominador tienes que respetar el procedimiento descrito, por lo que tendrías que cambiar el signo del exponente.

2B^-1/3 = 2 ÷ ³√B

Ahora supongamos que tienes la siguiente expresión…

= √(1+x) ÷ (1+x), podrías simplificarla de la siguiente manera:

= (1+x)^1/2•(1+x)^-1 = (1+x)^1/2-1 = (1+x)^-1/2 = 1/(1+x)^1/2 = 1/√(1+x)

¿Y si en lugar de una raíz con índice entero fuera éste fraccionario? Por ejemplo:

=^¾√H

Respetando el procedimiento descrito quedaría…

= H^1/¾

Simplificando el exponente…

Repaso de Aritmética y Álgebra.

Tema 16. Separando una expresión.

Una división de un polinomio entre un monomio puede expresarse separando sus términos, dividiendo cada parte del polinomio entre el monomio.

¡Bah! Son muchas palabras para indicar algo tan sencillo como lo siguiente:

(A+B+C)/D = A/D + B/D + C/D

¿Y para qué sirve esto?

Bueno, si por ejemplo tuvieras que realizar la siguiente operación:

(2A + 4AB)/A

Al separarla en partes quedaría:

2A/A + 4AB/A = 2 + 4B = 2(1+2B)

Igual puedes factorizar.

(2A + 4AB)/A = A(2 + 4B)/A “eliminando” A quedaría:

2 + 4B = 2(1+2B)

Pero ¿cómo podemos comprobar que efectivamente (A+B+C)/D = A/D + B/D + C/D?

Hagamos lo mismo pero con números, supongamos la siguiente expresión:

(4+6+14)/2

Sumamos y dividimos…

Repaso de Aritmética y Álgebra.

Tema 15. Factorización.

¿Cómo dividirías: (AB+AC-A) entre A?

Si sabes factorizar te resultará sencillo, pero… ¿Qué es factorizar? Significa: escribir de otra manera cualquier polinomio (expresión que contiene dos o más términos), de forma tal que no se altere, y sea más simple de entender. Siempre que tengas un grupo de términos en donde una o varias literales sean comunes, se puede factorizar. Por ejemplo:

Sea el polinomio: 4MX – AM + 2MV

Primero necesitas identificar la(s) literal(es) que sean semejantes, en este caso solo hay una, la M. Entonces la “sacas” como Factor Común y la escribes multiplicando a todo lo demás, quedando:

4MX – AM + 2MV = M(4X-A+2V)

Observa que esta expresión resultante es exactamente igual que la primera, ya que si multiplicaras la M por los términos encerrados en el paréntesis obtendrías la primera expresión.

Siguiente ejercicio.

Resolver: (2AB+3AX)/4AM

Factoricemos el numerador para “ver más claro” lo que podemos “eliminar” de la división.

2AB+3AX = A(2B+3X). Ahora sustituyamos en la expresión original.

(2AB+3AX)/4AM = A(2B+3X)/4AM = (2B+3X)/4M

Factorizar te servirá para “reacomodar” una expresión y poder realizar cualquier operación con mayor certeza, en el caso anterior eliminando alguna(s) literales. Recuerda que uno de los objetivos de las matemáticas es expresar cualquier cantidad de la manera más simple posible…

Repaso de Aritmética y Álgebra.

Tema 14. Confusiones y errores comunes.

¿Cuánto es Q/Q?

Si contestaste Q, lo lamento, estás mal. Si contestaste CERO, persígnate y en la primera oportunidad confiésate porque acabas de pecar.

Si te preguntaran ¿Cuánto es 10 entre 10? ¿Qué responderías? Obvio: Uno. ¿3 entre 3? Respuesta: 1. ¿-226 entre -226? Respuesta: 1 Etc, etc, etc. Cualquier cantidad dividida entre si misma es igual a 1. Seguro que esto ya lo sabías desde la primaria. Entonces ¿Por qué dudar o contestar equivocadamente que Q/Q es igual a 1?

Volvemos exactamente al mismo problema del tema anterior, tu confusión radica en que no sabes que significa Q. Re-grábalo en tu cabeza Q representa una cantidad cualquiera, pero una Q dividida entre otra Q es lo mismo que dividir cualquier cantidad entre si misma.

Pero no solo es dividir Q entre Q, es igual si quieres dividir WY² entre WY², debido a que representan cantidades exactamente iguales entonces el resultado es 1.

¿Cuánto es: √M+BD entre √M+BD? O sea: (√M+BD)/(√M+BD)

Bueno… como todos los resultados anteriores dan 1 seguramente por simple deducción lógica dirás 1. Efectivamente ese es el resultado.

¿Cuánto es (√M-BD)/(√M-DB)?

Aunque la B y la D están cambiadas de lugar ambas están multiplicándose por lo tanto el resultado de la división es 1.

¿Cuánto es: (A-B)/(B-A)?

Si contestaste 1 estás mal ¿Por qué? Porque A menos B, es diferente que B menos A, es como si dijeras ¿Cuánto es 10 menos 3? Seguro contestarás 7. ¿Y al revés? O sea ¿3 menos 10? En este caso resulta -7, y debes saber que 7 es diferente de -7, por lo tanto la división (A-B)/(B-A) es igual a: -1

¿Cuánto es 2/A entre A/2?

Repaso de Aritmética y Álgebra.

Tema 13. Confusiones y errores comunes.

¿Cuánto es: A+A?

Si contestaste A² estás mal, si dijiste 2A² estás doblemente mal –lo siento-, si dudaste o no supiste que contestar –que pena, pero te hace falta estudiar-, y si contestaste cero o 3A una de dos: o nunca te empeñaste en tus estudios de matemáticas en la “secu” o tus antiguos profesores no te enseñaron bien, por lo que puedes proceder a demandarlos. ¡Ja! Sé que nada les haría más felices a los alumnos que meter a todos sus profesores de matemáticas en la cárcel.

Pero, pero, pero… si contestaste 2A ¡Felicidades! El resultado es correcto, por lo tanto este tema quizá no sea para ti, aunque no estaría mal que lo repasaras, tal vez encuentres algo más que simples sumas.

¿Cuánto es: A+A?

Para los que no aprendieron algebra es fácil confundirse, y sucede porque no tienen fija en su cabeza con claridad lo que significan las letras en matemáticas. Una A puede representar cualquier cosa, lo que se te ocurra, por ejemplo una manzana, una persona, una computadora, etc. Ahora bien, si te digo A es una pirámide y te pregunto ¿cuánto es una pirámide más otra pirámide? De inmediato me responderás: dos pirámides o sea 2A, esto es evidente. Entonces ¿por qué no contestaste bien y a la primera cuando te pregunté cuanto es A + A? El problema sucede porque no relacionas a la A con nada, es decir, no has aprendido todavía el significado de una letra.

Cambiemos los datos. Si ahora te pregunto: ¿Cuánto es M²+M²? ¿Qué me responderías?

No olvides que M², B²x, A³, y, Z, W, P, etc. pueden representar cualquier cosa, por lo tanto el resultado es: 2 veces M² o sea 2M². Es como si te dijera “M² es una mesa cuadrada”, entonces ¿Cuánto es una mesa cuadrada más otra mesa cuadrada? Obvio: dos mesas cuadradas o sea: 2M²

Ahora bien si tienes 4X² y 2X² y quieres sumarlos es como si tuvieras cuatro cruces más dos cruces, por lo tanto el resultado sería seis cruces o sea 6X².

Siempre que algún desalmado profesor (como yo) te pregunte o te escriba problemas en donde veas que es la misma letra con el mismo exponente con igual o diferente cantidad piensa en sumar cosas u objetos, es más fácil entenderlo así, después todo lo harás mecánicamente y ya no requerirás relacionarlo con nada…

Repaso de Aritmética y Álgebra.

Tema 12. Ecuaciones de segundo grado.

Solución: Completando cuadrados.

Como ya te dije anteriormente hay ecuaciones que pueden resolverse aplicando la fórmula cuadrática y otros por el método de factorización. Cada caso a resolver dependerá de la forma que tenga la ecuación.

Veamos otro caso. Sea la ecuación: 8X²+ 2X -6 = 0

Es obvio que en esta expresión no podemos aplicar el método de factorización (por lo menos no directamente), sin embargo podríamos resolverla aplicando la fórmula cuadrática, el cual ya sabemos que es un método aplicable en cualquier situación. No obstante vamos a aplicar otro método denominado: completar cuadrados, ¿Cómo se aplica?

Primero simplificamos la expresión, para ello la dividimos entre 8. Siempre tienes que dividir entre el coeficiente de la X².

(8X²+ 2X -6 = 0)/8 → X² + (2/8)X -6/8 = 0 →
X² +(1/4)X – 3/4 = 0

Trasladando el término independiente (-3/4) del otro lado del signo igual quedaría:

X²+ (1/4)X = 3/4

Ahora dividimos el coeficiente de X (o sea 1/4) entre dos y lo elevamos al cuadrado.

[(1/4)/2]² = (1/8)² = 0.015625

El resultado se suma a las dos partes de la ecuación.

X²+ (1/4)X + 0.015625 = 0.75 + 0.015625 = 0.765625

Extraemos raíz cuadrada al primer y tercer elemento del miembro izquierdo.

√X² = X

√0.015625 = 0.125

Por lo tanto…

(X + 0.125)² = 0.765625

Despejando X quedaría…

Repaso de Aritmética y Álgebra.

Tema 11. Ecuaciones de segundo grado.

Solución por: Factorización.

Recordemos la ecuación del problema anterior: X²+5X+6 = 0 la cual resolvimos aplicando la fórmula cuadrática, obteniendo las siguientes raíces o valores: X₁=-2; y X₂=-3; ahora resolvámosla por otro método llamado: factorización

El método es simple, para esta ecuación (X²+5X+6 = 0) solo busca dos números que multiplicados te den 6 y sumados te den 5. Siempre es así: se buscan dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y que sumados den el coeficiente de X. Observa que el 6 es el último término de la ecuación (término independiente) y el 5 es el coeficiente de X.

¿Y bien? ¿Cuáles números te resultaron? ¿Acaso 3 y 2? Si, porque (3)(2) = 6 y 3+2 = 5

Entonces haz lo siguiente…

Escribe: (x__ )(x__ )=0; dentro de los paréntesis coloca los números que encontraste precedidos de su signo. Por lo tanto quedaría…

(x+3)(x+2) = 0

Pregúntate ahora: ¿qué valores consiguen que el resultado sea cero para la anterior expresión? Dicho de otra manera ¿Qué valores cumplen la igualdad a cero? ¿Acaso -3?, efectivamente, puesto que si haces x=-3 al sustituirlo quedaría…

(-3+3)(-3+2)=0 → (0)(-1)=0 → 0=0

Sustituyendo: X=-2 queda…

(-2+3)(-2+2)=0 → (1)(0)=0 → 0=0

Concluimos entonces que los valores de X son X₁=-3; X₂=-2 o bien X₁=-2; X₂=-3 (como quieras), ambos obtenidos a partir de buscar dos números que multiplicados dieran 6 y que sumaran 5. A los valores obtenidos simplemente se les cambia el signo y con ello obtienes las raíces de la ecuación.

Observa que el resultado es el mismo que al aplicar la fórmula cuadrática.

Resolvamos otro ejercicio…

Repaso de Aritmética y Álgebra.

Tema 10. Ecuaciones de segundo grado.

¿Qué es una ecuación de segundo grado y para que sirve?

Una ecuación de segundo grado es una expresión matemática construida para proporcionar dos soluciones a una misma situación. Sirve para resolver casos especiales de procesos físico-matemáticos en donde dos valores coinciden en un mismo resultado.

Las ecuaciones de segundo grado tienen la forma:

aX²+bX+c = 0

En una ecuación de segundo grado el mayor exponente de X es 2.

Por ejemplo: X²+5X+6 = 0 es una ecuación de segundo grado, pero… ¿Cuáles son los valores de a, b y c y cuáles los de X?

a es el valor (coeficiente) que acompaña a la X², b es el coeficiente de X, y c es el término independiente (el número que está solo). Para obtener los valores de X aplicamos…

Solución aplicando la Fórmula cuadrática.

En la ecuación: X²+5X+6 = 0, los valores de a, b y c son: a=1; b=5 y c=6

Para descubrir los dos valores de X (también se les llama raíces de la ecuación) existen varios procedimientos. El más general, aplicable en cualquier caso es la fórmula cuadrática.

Solo tienes que sustituir en ella los valores a, b y c. Hagámoslo.

Si: a=1; b=5 y c=6 entonces sustituyendo quedaría…

Repaso de Artimética y Álgebra.

Tema 9. Sistemas de ecuaciones lineales.

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales? Se les llama así a un par o más ecuaciones de primer grado (exponente uno) que contienen dos o más literales de las cuales se busca conocer su valor.

Métodos de solución.

Igualación. Se despeja la misma literal de ambas ecuaciones y se igualan ambas.

Sustitución. Se despeja una de las literales y se sustituye en la otra ecuación.

Reducción. Se multiplica una de las ecuaciones de tal manera que se iguale una de las literales y se procede a sumar o restar según corresponda.

Determinantes. Regla de Cramer.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales, o dicho de otra manera ¿Cuales son los valores comunes de x e y para los cuales se cumple la igualdad?

3x – y = 7 Ecuación. 1
2x – 4y = 12 Ecuación. 2

Solución por igualación.

De: 3x – y = 7; despejando y queda: y = 3x – 7

De: 2x – 4y = 12; despejando y queda: y = -(12-2x)/4

Igualando ambas partes, o sea: y=y; por lo tanto: 3x-7 = -(12-2x)/4; entonces queda:

(3x-7)4 = -(12-2x)
12x-28 = -12+2x
12x-2x = -12+28
10x = 16

x = 16/10 = 8/5 = 1.6 Sustituyendo en y el valor obtenido de x, queda:

y = 3(1.6) – 7 = -2.2

Solución: x=1.6; y=-2.2

Obviamente el mismo par de ecuaciones resuelto por los otros métodos debe dar el mismo resultado.

Solución por sustitución…

Repaso de Aritmética y Álgebra.

Tema 8. Cocientes Notables.

¿Por qué se les llama cocientes notables? Se les llama así porque puede efectuarse una división exacta en ellos.

1. (a²-b²)/(a+b) = a – b;

2. (a² – b²)/(a – b) = a + b

3. (a³+b³)/(a+b) = a²– ab + b²

4. (a³ – b³)/(a – b) = a² + ab + b²

Potencias enteras positivas de monomios.

Si 2^-3=1/2³ entonces A^-n=1/Aⁿ; si [3/2]²=3²/2² entonces [a/b]²=a²/b².

Cuadrado de un binomio.

(a+b)²= a²+2ab+b²; por lo tanto (2x+y)²=4x²+4xy+y².

Regla: El cuadrado del primer término, más el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Cuadrado de un trinomio. (x+y-z)² = x²+y²+z²+2xy-2xz-2yz

Producto de Binomios Conjugados. (2x+3)(2x-3) = 4x²+6x-6x-9 = 4x²-9

Producto de Binomios con un Término Común. (x+3)(x+5) = x² + 8x + 15

Cubo de un Binomio. (a+b)³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³

Regla. El cubo del primer término, más el triple del producto del cuadrado del primero por el segundo término, más el triple del producto del cuadrado del segundo término por el primero, más el cubo del segundo término…

Repaso de Aritmética y Álgebra.

Tema 7. Despejar una variable, literal, o lo que sea.

“A ver jóvenes vamos a <<despendejar>> X de esta ecuación”. ¡Ja!, perdón por escribirlo, se lee y se escucha ± fuerte pero así nos decía un profesor de matemáticas. Nunca supe si con esta pseudo-altisonante palabra el maestro hacía alusión al grupo, o sencillamente se le pegaba la gana decir así para referirse a los despejes comunes. Lo que si supe es que en ecuaciones «voluminosas» todos teníamos problemas para “despendejar” lo que hubiera que despejar.

Pues bien… el problema sigue. Actualmente veo que mis alumnos sudan frío cuando ven una ecuación con más de tres letras de la cual se requiere despejar cualquiera de ellas, ¿por qué? si es tan simple hacerlo. No lo sé, quizá no le han tomado el «sabor» a las matemáticas.

Identificado el problema y sin mayores preámbulos iniciemos con la solución del mismo.

Te lo explicaré con palabras sencillas, nada de “rollos” ni enredos matemáticos, es como lo entiendo y me parece que igual puedes entenderlo fácilmente.

Despejar quiere decir ‘dejar sola una letra’. Por ejemplo si tienes la ecuación AM=BC/D y quieres despejar C, significaría dejarla sola de un lado del signo igual. ¿De cuál lado? Del que se te pegue la gana: 2+3=5 como: 5=2+3

Pero en fin… tenemos que revisar varias cosas antes de continuar.

Primero: ¿Qué es una ecuación? Una ecuación es una IGUALDAD. 2+1=3 es una ecuación aritmética. A+B=C es una ecuación algebraica.

Segundo: ¿Cómo está compuesta una ecuación? Está compuesta por dos partes y se llaman miembros, separados por un signo igual.

Tercero: ¿Qué es una variable? Es una letra que representa cualquier valor. Por ejemplo X. Si le dices a alguien «iban volando X palomas» quiere decir que tal vez volaban 5, 10, 12, o más palomas.

Cuarto: ¿Cuántas variables puede contener una ecuación? Desde una, hasta infinitas… y más allá.

Dos condiciones tienen que cumplirse SIEMPRE que quieras despejar algo…

Repaso de Aritmética y Álgebra.

Tema 6. Generalidades de Álgebra.

Lenguaje algebraico. Es la forma de expresar a aquello que se desprende del lenguaje común. Por ejemplo. El cuadrado de un número cualquiera: X². X se llama literal o variable; 2 se llama grado de término, potencia o simplemente exponente.

Despeje de fórmulas. Una fórmula es la expresión de una ley o principio general por medio de letras o símbolos. El despeje de fórmulas se refiere a la “separación” de una literal o variable de la expresión algebraica.

Ejemplo. Sea a=b/c, despejar c.

(c)(a)=b por lo que c=b/a.

El procedimiento implica dejar “sola” a la literal que se desee despejar. Siempre deben moverse literales que estén efectuando una sola operación, “pasarán” del otro lado de la ecuación efectuando la operación contraria. Más adelante ampliaré este tema.

Expresiones algebraicas. Son representaciones simbólicas de enunciados, combinan de manera sistemática y ordenada letras, números y signos de operación; es decir variables y constantes.

Monomio. Expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplo: 4x; 3X²Y.

Polinomio. Expresión algebraica formada por más de un término.

Estos a su vez se clasifican en: Binomios: (a+b); Trinomios: (x-y+3).

Grado de un polinomio:

Absoluto: (en: x³+x²-x, grado. 3) y Relativo: (en: y²-y, 2 y 1).

Término Independiente: Con relación a una letra es el término que no contiene a dicha letra.

Símbolos de agrupación y orden de las operaciones. Un signo + que anteceda a un símbolo de agrupamiento ( ), no afecta a los signos de los términos colocados dentro de él. Un signo – colocado antes de un ( ), cambia los signos de los términos. Se entiende por símbolos de agrupación: paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }. El orden común de las operaciones combinadas, es: primero las raíces y potencias, luego las divisiones o productos y por último sumas y restas. Cuando existan símbolos de agrupación se simplifica primero el contenido de los símbolos más internos, en ese orden hacia afuera.

Valor numérico de una expresión algebraica. Se refiere a la sustitución de una literal por un valor específico. Ejemplo…

Repaso de Aritmética y Álgebra.

Tema 5. Números racionales (Fracciones).

Suma y Resta

Dos casos de solución que depende del tipo de fracciones.

Caso 1.

Cuando los denominadores (número colocado abajo en la fracción) son iguales. Se suman todos los numeradores (número colocado arriba) y se coloca el mismo denominador. De poderse, se simplifica.

Ejemplo.

1/8+6/8-3/8= (1+6-3)/8=4/8=2/4=1/2

Caso 2.

Cuando los denominadores son diferentes. 5 métodos de solución.

1er. Método.

Si el mayor denominador es divisible entre los demás, se coloca como denominador común y se divide entre cada uno de los denominadores; el resultado se multiplica por cada uno de los numeradores.

Ejemplo.

1/3+4/5-5/15=(5+12-5)/15=12/15=4/5

2do. Método.

El denominador común se obtiene de multiplicar todos los denominadores. El proceso continúa como en el método anterior.

Ejemplo.

2/4+3/5=(10+12)/20=22/20=11/10 o bien, 1 entero 1 décimo.

3er. Método.

Multiplicación en forma cruzada y horizontal (solo para 2 fracciones). Se multiplica el primer numerador por el segundo denominador; luego el primer denominador por el segundo numerador, se coloca el signo correspondiente entre ambos resultados; luego se multiplican los denominadores.

Ejemplo.

2/4-1/5=[(2)(5)-(4)(1)]/[(4)(5)]=(10-4)/(20)=6/20=3/10

4to. Método…

Repaso de Aritmética y Álgebra.

Tema 4. Tipos de fracciones.

Propias: Cuando el numerador es menor que el denominador:

Ejemplos: 3/5; 7/9; 3/8; -2/5; 9/17; -5/16; 45/88;…

Impropias: Cuando el numerador es mayor que el denominador:

Ejemplos: 5/2; 4/3; 13/2; -16/4; -8/3; 1234/345; 4/3;…

Aparentes: Cuando el numerador y el denominador son iguales:

Ejemplos: 10/10; 23/23; -34/-34; 3/3;…

Mixtas: De la combinación de un entero y una fracción propia, resulta una fracción impropia:

Ejemplos: 23²/₁₃; 1¼; 3 ¹/₅; -7²/₃; -8²/₅;…

Valor absoluto. Representa una cantidad sin atender al signo y se escribe encerrando al número en dos barras paralelas:

Ejemplos: |-3|=3; |56|=56; |-13|=13; |2321|=2321;…

Orden de los números racionales. Es el acomodo que existe de las fracciones en una recta numérica.

Ejemplo: Sean las fracciones 2/5 y 3/4 ¿Cuál es mayor?

Para saberlo se multiplica en forma cruzada: (2)(4)=8 y (3)(5)=15. La fracción mayor siempre se obtiene del numerador que al multiplicarlo por el denominador de la otra fracción de el resultado mayor. Por lo tanto 3/4 es mayor.

Orden de las operaciones. El orden propuesto de las operaciones combinadas, es: primero las raíces y potencias, luego las divisiones o productos y por último sumas y restas. Cuando existan símbolos de agrupación se simplifica primero el contenido de los símbolos más internos, en ese orden hacia afuera. Más adelante tocaré este tema con mayor amplitud.

Razones y Proporciones…