Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 13. Dos caminos que se cruzan (rectas que se intersectan).

2da. Actualización: Septiembre 03 de 2009
1ra. Actualización: Octubre 06 de 2008
Fecha de publicación inicial: Septiembre 05 de 2007

Un problema físico y dos formas de resolverlo.

Dos autos conducidos a toda velocidad por dos cafres del volante transitan por dos tramos rectos de carreteras distintas, su trayectoria está representada por dos rectas cuyas ecuaciones son:

Y=2x+1
Y=-x+4

Las preguntas son:

1). ¿Existe alguna posibilidad de choque y en que punto?
2). ¿Cómo se llamaban los conductores de ambos autos?

Primera solución. Graficando ambas ecuaciones.

Asignamos valores arbitrarios (los que se te pegue la gana) a la variable independiente (x) de la primera ecuación, por ejemplo: 0, 1, 2

Y=2(0)+1=1

Y=2(1)+1=3

Y=2(2)+1=5

Por lo tanto las coordenadas de los puntos resultantes (x, y) son: (0, 1); (1, 3); (2, 5).

Haciendo lo mismo con la otra ecuación:

Y=-x+4 Por ejemplo: 0, 1, 2, 3, y 4

Y=-x+4=-(0)+4=4; Y=-(1)+4=3; Y=-(2)+4=2; Y=-(3)+4=1; Y=-(4)+4=0

Por lo tanto las coordenadas de los puntos resultantes (x, y) son: (0, 4); (1, 3); (2, 2), (3, 1); (4, 0)

Resultando una gráfica como la de la figura de arriba, en donde podemos observar que las rectas se cruzan en Pc(1, 3). Observa que en ambas ecuaciones si x=1, resulta y=3.

Segunda solución. Resolviendo ambas ecuaciones aplicando uno de los métodos algebraicos conocidos: Reducción, igualación, sustitución y/o determinantes. Apliquemos uno ¿Cuál? El que recuerdes.

Tenemos un par de ecuaciones, para resolverlas, es decir, conocer los valores de X e Y, apliquemos el método de Igualación.

Y=2x+1
Y=-x+4

Igualándolas…

Y=Y, por lo tanto: 2x+1=-x+4

Transponiendo términos y reacomodándolos queda…

2x+x=4-1
3x=3
x=3/3
x=1

Entonces: x=1

Sustituyendo el valor obtenido de X en cualquiera de las dos ecuaciones, quedaría:

y=2(1)+1=2+1=3

Ambos resultados, x e y, son las coordenadas del Punto de cruce o de intersección y son: Pc(1, 3).

¿Cuál de los dos procedimientos es mejor?

El procedimiento matemático es mejor porque requiere menos tiempo y es exacto, sin embargo no se puede descartar el procedimiento gráfico debido a que puede arrojar mayor luz al problema.

Ahora bien, respondiendo a las dos preguntas iniciales.

1). ¿Existe alguna posibilidad de choque y en que punto?

Claro que existe, aunque muy remota pues en el problema no se habla de tiempos, de distancias, ni de velocidades, solo se sabe que ambos automóviles pasarán por el lugar determinado por las coordenadas (1, 3).

2). ¿Cómo se llamaban los conductores de ambos autos?

Fulano y Sutano.

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