Tópicos de Cálculo Integral.

Tema 2. Un problema de aplicación del Cálculo Integral.

Contrataste un albañil para que construyera una barda alrededor de tu residencia con el diseño mostrado en la figura. Al inicio de la obra cuya longitud total fue de 90 Metros lineales en segmentos de 6 metros, acordaste un pago de $80.00 por metro cuadrado de barda construido, solo por la mano de obra. Al final del trabajo el maestro albañil calculó un área total de 315 M² por lo que quiere cobrarte $25,200.00 La pregunta es:

¿Hizo bien el cálculo del área total?

Evidentemente NO.

El señor albañil calculó el área total de un rectángulo considerando la altura mayor de la obra haciendo una simple multiplicación de 90x3.5 por lo que le resultaron 315 M² mismos que multiplicados por los 80 pesos resulta un total de $25,200.00 Suponiendo que tú fueras igual de tramposo obviamente buscarías inclinar la balanza a tu favor multiplicando los 90 metros pero por la altura menor del rectángulo formado (2 Metros) con lo cual resultarían 180 M² mismos que multiplicados por 80 pesos darían un total de $14,400.00

Pero si así se lo plantearas al maestro albañil seguramente no estaría de acuerdo, te diría: «hace falta lo que está a los lados arriba de los dos metros», y así, entre uno y otro precio, si ambos fueran dos personas problemáticas quizá hasta en pleitos legales terminarían.

En fin, no se trata de robar ni que te roben, se trata de pagar lo justo.

Algún «pacificador» (o entrometido, como quieras llamarle) podría sugerir: ¡Total! ¡Ni uno ni otro! Calculen la media de las dos alturas (2+3.5)/2, multiplíquenla por los 90 Metros y el resultado lo multiplican por los 80 pesos y San se acabó. En este caso resultarían: $19,800.00

Suponiendo que ambos quedaran satisfechos con el precio anterior, el cual, -espero coincidamos Lector/a- es más «decente» que los otros dos, ¿es exactamente lo que deberías pagar?

Descubrámoslo… Primero establezcamos la ecuación (o modelo matemático) del problema. Puedes ver que la curva de la barda tiene la forma de una Parábola. Encima una curva de ese tipo haciendo coincidir el vértice con el punto más bajo y determina las coordenadas de uno de sus puntos. La Parábola mostrada cuyo vértice (V) está fuera del origen del sistema coordenado y se abre hacia arriba se relaciona con la ecuación (o fórmula) ordinaria (x-h)²=4p(y-k) Con ella obtienes la ecuación particular de la curva, pero necesitas conocer las coordenadas del vértice (V, coordenadas h, k) y el valor de p. Ambos datos en este caso puedes conocerlos por simple inspección, no obstante el valor de p que es la distancia del vértice (V) al foco de la Parábola tendrías que obtenerlo de la siguiente manera.

Sustituyes en la fórmula las coordenadas (h=0; k=2) y las de un punto de la Parábola (x₁=3; y₁=3.5). Obtienes…

(3-0)²=4p(3.5-2)

(3)²=4p(1.5)

9=6p

9/6=p=1.5

También puedes obtener la misma distancia aplicando la fórmula: d=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]

Por lo tanto la distancia del vértice al punto focal es de: 1.5 Metros.

Sustituyes el valor de p en la fórmula… (x-h)²=4p(y-k) quedando…

(x-0)²=4(1.5)(y-2)

x²=6(y-2)

x²=6y-12 Simplificamos dividiendo entre 6

x²/6=6y/6-12/6 queda…

x²/6=y-2 es decir… y=(x²/6) + 2

Así que, la ecuación de la curva es: y=(x²/6) + 2

Pero… ¿cómo comprobarías si el borde superior de la barda efectivamente «sigue» la ecuación determinada? Bueno… tendrías que realizar algunas mediciones físicamente, por ejemplo: al nivel del piso cuando la distancia al origen (coordenada x=0) sea de un metro, el valor correspondiente a la altura de la barda debe ser: y = (1²/6)+2 = 2.16 Metros. A dos Metros del origen la altura de la barda debe ser de: y = (2²/6)+2 = 2.66 Metros (puedes asignar más valores y comprobarlos físicamente). De esta manera comprobarías si de verdad el borde superior de la barda sigue la ecuación que determinaste o si en realidad se trata de una curva diferente a la Parábola. Dicho lo cual…

Aplicamos Cálculo Integral…

Nota. En los siguientes temas te explicaré el proceso a seguir para desarrollar integrales, por ahora solo observa las bondades del Cálculo.

Tenemos pues un área de 15 Metros cuadrados, que corresponden a 6 metros lineales de barda. Hacemos una regla de tres simple y obtenemos:

6 es a 15 :: 90 es a x

x=(15)(90)/6 = 225 M²

225 M² que multiplicados por $80.00 dan un total de $18,000 Pesos, que es exactamente lo que debiste pagar. No obstante, comparemos este resultado con los anteriores.

Si le hubieras pagado al maestro albañil lo que te cobraba ($25,200.00) habrías resultado estafado con ¡nada más y nada menos! $7,200 «Pesotes». ¿¡Qué tal!? Un 40% más de lo que debías pagarle. ¡Uff!

Si el albañil hubiese aceptado lo que le ofrecías ($14,400.00) lo habrías estafado con $3,600 «Pesitos», que representan solo un «veintecito» por ciento. Poco para ti, muchísimo para el maestro albañil.

Pero como estuviste de acuerdo con el «pacificador» en que el total se calculara con base en un promedio entre las dos alturas ($19,800.00), perdiste $1,800 «Pesotes», los cuales bien podrías haberlos invertido en una cena familiar, en ropa, calzado o demás cosas o comprando refrescos amargos para disfrutarlos con tus amigotes/as, en fin, eso sucede por hacerle caso a metiches, lo mejor siempre será saber cómo calcular áreas exactamente, aunque… al final de cuentas si el maestro albañil te hizo un excelente trabajo bien se merecía la diferencia ¿o no? ¡Ja!

Por otra parte ¿el mismo problema lo podías haber resuelto con matemáticas diferentes al Cálculo Integral?

La respuesta es: SÍ.

Hagámoslo…

Calculamos el área de la Parábola (parte rayada) aplicando la fórmula: (2/3)(base)(altura)

La base es igual a 6 Metros. La altura es de 1.5 Metros. Sustituyendo datos quedaría…

(2/3)(6)(1.5) = 6 M²

Ahora calculamos el área total del rectángulo en donde están incluidas el área de la Parábola y el área bajo la misma.

(6)(3.5) = 21 M²

A esta última área le restamos el área de la Parábola…

Área bajo la curva = 21-6 = 15 M²

Pero… ¿y entonces para qué tanto enredo si es tan simple?

Bueno… sucede que no todos los problemas de áreas bajo la curva se relacionan con Parábolas, muchas veces son otras curvas y es imposible resolverlos aplicando la matemática tradicional, solo pueden resolverse por medio del Cálculo Integral.