Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 25. Parábolas con vértice fuera del origen.

A diferencia de las Parábolas con Vértice en el Origen las cuales solo pueden abrirse hacia cuatro lados (por lo menos las más simples), desde el punto de origen de cualquier sistema coordenado cartesiano, el resto de parábolas pueden estar colocadas en cualquier lugar del mismo, pero igual que las otras se abren hacia cuatro lados (arriba, abajo, derecha e izquierda), a éstas últimas se les designa con el nombre de  Parábolas con Vértice Fuera del Origen.

Don René Descartes decía:

Caso 1. Si la parábola se abre a la derecha se relaciona con la ecuación:

(y-k)²= 4p(x-h)

Caso 2. Si la parábola se abre a la izquierda se relaciona con la ecuación:

(y-k)²= – 4p(x-h)

Caso 3. Si la parábola se abre hacia arriba se relaciona con la ecuación:

(x-h)²= 4p(y-k)

Caso 4. Si la parábola se abre hacia abajo se relaciona con la ecuación:

(x-h)²= – 4p(y-k)

Esta vez será solo teoría.

Veamos un problema…

Sea la ecuación: (y-3)²= – 8(x+2) ¿Qué datos puedes obtener con solo analizar la ecuación?

Solución.

1. La ecuación se «parece» al caso 2, entonces la parábola tiene su Vértice Fuera del Origen y además se abre a la izquierda.

2. La Longitud del Lado Recto (4p) de la parábola es de 8 unidades.

3. La distancia del Vértice al Foco (valor de p) de la parábola es:

|4p|=|8|; p=|8/4|= 2 Unidades.

4. Las coordenadas del Vértice de la parábola son: P(h, k), es decir: P(-2, +3). Son los números que forman un binomio con la X y la Y de la ecuación.

5. Si el valor de p es 2 quiere decir que la parábola tiene su Foco a 2 unidades a la izquierda del Vértice, por lo tanto sus coordenadas serán: F(-4, 3).

6. Igual que el punto anterior, la Directríz estará desplazada a 2 unidades, sólo qué hacia la derecha del Vértice por lo tanto su ecuación será:

X=0, coincidiendo exactamente con el eje Y del sistema coordenado.

Ahora bien, con todos estos datos ya puedes «ver» la gráfica correspondiente la cual sería semejante a la que te muestro arriba.

Pero… ¿A qué conclusión nos lleva todo esto?

La conclusión inmediata es que con solo analizar una ecuación puedes darte cuenta de qué figura se trata, y cuáles son sus características particulares.

Otra forma de saber lo mismo es graficando la ecuación, pero es más sencillo A-NA-LI-ZAR las expresiones, tal es uno de los objetivos de la Geometría A-NA-LI-TI-CA.