Tópicos de Geometría Analítica.

20 10 2009

La Parábola. Episodio 3.

Actualización: Octubre 19 de 2009
Fecha de publicación inicial: Diciembre 12 de 2007

El final.

Ahora bien en la “fórmula” de Descartes (X2=4pY) el valor de p siempre es la distancia que existe del vértice al foco, y el foco para el caso de la parábolas con vértice en el origen puede ser que esté en el eje de las X o en el de las Y, y puede ser también que tenga valor sea positivo o negativo, todo depende de cómo y hacia donde se abre la Parábola.

4CasosParVOSi la Parábola se abre hacia arriba p es mayor que cero. Si se abre hacia abajo p es menor que cero. Si se abre hacia la derecha p es mayor que cero. Si se abre hacia la izquierda p es menor que cero.

Todo lo anterior parte de un a-na-li-sis de las figuras.

Volviendo al problema que nos ocupa, si tenemos: Y=2X2, reacomodando términos es igual a: X2=(1/2)Y, la cual se parece a: X2=4pY, ecuación que representa a una Parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. También por simple inspección puedes ver que en ambos casos los coeficientes de Y (términos que la “acompañan”) son: ½, y 4p. A partir de esto puedes igualarlos y obtener:

½ = 4p; (½)/4 = p; 1/8 = p; o bien: p = 1/8

Por lo tanto el Foco se encuentra a una distancia de 1/8 respecto del vértice y es positivo.

De todo lo anterior deducimos lo siguiente:

La Parábola tiene su eje sobre el eje de las Y; se abre hacia arriba, puesto que p es positivo; las coordenadas del Foco son (0, 1/8); la longitud de su lado recto es:

I 4p I=I4(1/8)I=I4/8I=I1/2I=0.5;

La ecuación de la Directriz es: y=-1/8

Ves que fácil es, y todo lo anterior puedes determinarlo por simple inspección de la ecuación particular de una Parábola, complementándolo con algunas operaciones matemáticas sencillas.

The End.

Solo por practicar resuelve los siguientes ejercicios por simple inspección… nada de darle valores a X y obtener valores de Y o viceversa. Solo aplica tu inteligencia y al ver la ecuación deduce: hacia donde se abre, la distancia del vértice al foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.

Y=X2
Y=5X2
X=4Y2
X=6Y2
Y=-X2
Y=-5X2
X=-4Y2
X=-6Y2

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One response

4 01 2008
Ing. Alejandro Sarabia B

Felicidades por los aportes a la educacion de Mexico.

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