Tópicos de Geometría Analítica.

La Parábola. Episodio 2.

Actualización: Octubre 17 de 2009
Fecha de publicación inicial: Diciembre 11 de 2007

Sus partes y un problema resuelto.

La siguiente figura es una parábola con sus partes principales. Si te sirve apréndetelas de memoria.

Foco. Es un punto localizado al “interior” de la curvatura de la Parábola. Físicamente es el punto hacia donde se refleja o “rebota” todo aquello que “choca” con su cara. La distancia del vértice al foco se conoce como p.

Lado Recto. Es la distancia que hay entre dos puntos simétricos de la parábola con la condición de que se mida pasando por el foco en forma paralela a la Directriz.

Directriz. Recta desplazada a la misma distancia p del vértice pero en sentido contrario. Perpendicular al eje de la parábola.

Vértice. Punto desde donde se “abre” la Parábola. La Geometría Analítica de don René Descartes permitió trabajar con ocho casos de Parábolas (por lo menos son los más básicos). Las que se abren a la derecha, a la izquierda, hacia arriba y hacia abajo e igual número de casos para cuando tienen su vértice fuera del origen.

Parábolas con vértice en el origen.

Según Descartes hay dos ecuaciones principales que rigen geométricamente a las parábolas con vértice en el origen, a saber: Y²=4pX, y X²=4pY.

Después te explico cómo las obtuvo por el momento aprende a utilizarlas.

Grafiquemos la ecuación particular de una Parábola en la forma tradicional (dando valores a X y obteniendo valores de Y).

Y=2X²

Asignando valores arbitrarios a X…

Si X=0; Y=2(0)²=0; entonces P₁(0, 0)
Si X=1; Y=2(1)²=2; entonces P₂(1, 2)
Si X=2; Y=2(2)²=8; entonces P₃(2, 8.0)
Si X=3; Y=2(3)²=18; entonces P₄(3, 18)
Si X=-1; Y=2(-1)²=2; entonces P₅(-1, 2)
Si X=-2; Y=2(-2)²=8; entonces P₆(-2, 8.0)
Si X=-3; Y=2(-3)²=18; entonces P₇(-3, 18)

Al ubicar todos los puntos en un sistema coordenado común se forma la siguiente figura.

Bien, hasta ahí lo común, pero, ¿existe otra manera de hacer lo mismo, que sea más ágil? Pues sí, para tu beneplácito existe, solo tienes que a-na-li-zar la ecuación particular Y=2X² y relacionarla con dos ecuaciones principales que inventó René Descartes (Y²=4pX, y X²=4pY).

¿A cuál de las dos ecuaciones principales se parece más la ecuación que graficamos? Es decir: Y=2X² se parecería más a: Y²=4pX, o a X²=4pY

Tal vez no encuentres mucho parecido con ninguna tal como está escrita la ecuación, pero si la “reacomodas” transponiendo términos de la siguiente manera:

Y=2X², es exactamente lo mismo que si tuvieras: X²=(1/2)Y. Quizá ahora si notes mejor su relación con las ecuaciones de Descartes. ¿Entonces a cuál se parece más? ¿Acaso, a X²=4pY?

Bien… espero que lo hayas determinado tú, voy a suponer que así fue.

Pero este tema no ha concluido, lo continuaremos en próxima ocasión.