Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 21b. Ángulo con que se cruzan dos rectas.

Actualización: Octubre 01 de 2009
Fecha de publicación inicial: Septiembre 28 de 2007

¿Con qué ángulo se cortan dos rectas? Veámoslo mediante un ejemplo práctico.

Dos aviones siguen durante cierto tiempo trayectorias rectilíneas definidas por las siguientes ecuaciones:

Y=3X+1
Y=X- 1

Hallar su ángulo de intersección.

Si recuerdas ya vimos algo semejante en el Tema 13 (dos caminos que se cruzan) solo que ahí buscábamos el punto de cruce (intersección) entre ambas rectas, en este caso podríamos hacer lo mismo, pero además buscamos el ángulo con que se cruzan ambas trayectorias. Procedamos…

Grafiquemos las dos ecuaciones.

Graficar es simple, recuerda que solo tienes que asignar valores arbitrarios a X ¿Cuáles? Los que se te pegue la gana. Con esto obtendrás valores para Y. ¡Claro! si asignas un valor a la X por ejemplo de 1,000, entonces tendrás que hacer circo, maroma y teatro para acomodar este valor de X en tu sistema coordenado e igual para el que resulte de Y junto con otros valores pequeños que asignaras X. Las rectas resultantes son las trayectorias de los aviones.

Si por el punto de intersección trazas una paralela al eje X, obtendrás los ángulos b, y c. El ángulo a es el que buscamos.

Analiza los ángulos b y c. Te pregunto ¿el ángulo a se puede obtener a partir de los ángulos b y c?

Te doy un minuto para que respondas antes de dar un “click” en: Leer el resto de esta entrada…

Supongo que concluiste que SÍ, que el ángulo a se puede obtener restando el ángulo c al ángulo b. Pero… ¿y como podemos obtener los ángulos b y c?

Recuerda lo que vimos en el Tema 16 (paralelismo entre dos o más rectas), en donde decíamos que si las ecuaciones están “acomodadas” de la forma Y=mX+b, la pendiente es el número que acompaña a la X, técnicamente llamado: coeficiente de X.

Aplicando este criterio tenemos que: Si Y=3X+1 entonces m=3; Si Y=X-1 entonces m=1

Pero también sabemos que m=tg (α), o escrito de otra forma para el ángulo b sería m=tg (b), por lo tanto: b = tg^-1(3) = 71.56º, también para la otra ecuación c = tg^-1(1) = 45º

Bien… ya conocemos los ángulos b y c, solo queda hacer una modesta resta para obtener el ángulo a.

Ángulo a = Ángulo b – Ángulo c = 71.56º – 45º = 26.56º

¡¡¡OKKK!!!

Pero también existe otra forma de hacerlo utilizando una fórmula inventada por don René:

Tg (a) = (m₂-m₁)/(1+m₂m₁)

Sustituyendo datos nos queda:

Tg a = (3-1)/(1+3×1) = 2/4 = 0.5, entonces: Tg a = 0.5, despejando a queda:

a = Tg^-1(0.5) = 26.56º

¡¡Exactamente igual!!

Si aplicas el primer razonamiento (restando ángulos) debes tener cuidado para interpretar correctamente los ángulos resultantes. Aplicando la fórmula de René Descartes, podrás obviar algunas cosas.