Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 21. Pendiente de la recta que se forma con dos puntos, conocidos ambos (teoría y práctica).

Actualización: Septiembre 20 de 2009
Fecha de publicación inicial: Septiembre 21 de 2007

Determinemos la pendiente del pasamanos de una escalera, igual podría ser la pendiente de la torre inclinada de pisa, o del monte everest.

En Geometría Analítica la pendiente de una recta se determina conociendo las coordenadas de dos de sus puntos Tema 7, desde luego que hay más formas, pero en este caso nos aplicaremos a saber ¿cuáles son esos dos puntos?, ¿cómo determinarlos? y ¿cuál es la pendiente de la recta que los une?

¿Y de dónde vas a sacar dos puntos si solo tienes el pasamanos?

Te lo explicaré a continuación.

En la imagen simplemente coloca el punto de origen de un sistema coordenado cartesiano en cualquier lugar, ya sea en el pintarrón (si es que está proyectada la imagen en él) o en cualquier otro lugar en donde esté la figura. De ahí traza los dos ejes del sistema. Luego pasa por el punto origen una recta que coincida con la superficie del pasamanos y sobre ella coloca los dos puntos como en la figura.

¿Y físicamente? En este caso hay varias soluciones.

Se me ocurre que…

1. Si el pasamanos está en una pared puedes pegar dos tiras de cinta adhesiva (Masking Tape) en ella (o en donde sea) simulando los ejes X e Y, ambas deben ser perpendiculares entre sí (90º entre sus ángulos). Después marca un punto en el pasamanos y mide la distancia hacia de él hacia el eje X (verticalmente) y luego hacia el eje Y (horizontalmente), con lo cual obtendrás sus coordenadas (Punto P1). Haz lo mismo para otro punto (P2). Lo demás son operaciones artméticas y algebraicas en tu cuaderno.

2. Puedes marcar la pared simulando los dos ejes utilizando para ello una cuerda impregnada de polvo de un color que contraste con el de la pared, la recta sería el pasamanos.

Cabe mencionar que los dos ejes coordenados (X e Y) puedes trazarlos en cualquier lugar del pasamanos, ya sea al principio del mismo, a la mitad, o al final, en donde se acomoden mejor para medir distancias de los puntos a ellos.

En cualquier solución que apliques evita dañar la pared.

También puedes utilizar un transportador para determinar el ángulo del pasamanos respecto del eje X y luego aplicas la fórmula m = tg α, o en su defecto puedes utilizar un instrumento llamado Inclinómetro o un Goniómetro, etc. puede haber más soluciones.

En fin, se que tienes ingenio para encontrar mejores soluciones que las que propuse.

Supongamos que los puntos que obtuviste tienen las siguientes coordenadas (20, 20) Cms. y (70, 70) Cms.

Aplicamos la fórmula obtenida en el Tema 7,

m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁).

Al sustituir los datos obtenemos:

m = (70-20)/(70-20) = 50/50 = 1

Entonces la pendiente del pasamanos de la figura es: 1

Pero vayamos más allá, ¿y el ángulo de inclinación (α) del pasamanos de cuantos grados es?

Para ello aplicamos la fórmula:

m = tg α;

Despejando α queda…

α = tg^-1(1) = 45º ¡Sencillo! ¿No crees?

Solo por practicar determina las pendientes de las siguientes figuras. 1, 2, 3, 4.