Tópicos de Geometría Analítica.

22 09 2009

Tema 21. Pendiente de la recta que se forma con dos puntos, conocidos ambos (teoría y práctica).

Actualización: Septiembre 20 de 2009
Fecha de publicación inicial: Septiembre 21 de 2007

Determinemos la pendiente del pasamanos de una escalera, igual podría ser la pendiente de la torre inclinada de pisa, o del monte everest.

En Geometría Analítica la pendiente de una recta se determina conociendo las coordenadas de dos de sus puntos Tema 7, desde luego que hay más formas, pero en este caso nos aplicaremos a saber ¿cuáles son esos dos puntos?, ¿cómo determinarlos? y ¿cuál es la pendiente de la recta que los une?

EcnRecta ¿Y de dónde vas a sacar dos puntos si solo tienes el pasamanos?

Te lo explicaré a continuación.

En la imagen simplemente coloca el punto de origen de un sistema coordenado cartesiano en cualquier lugar, ya sea en el pintarrón (si es que está proyectada la imagen en él) o en cualquier otro lugar en donde esté la figura. De ahí traza los dos ejes del sistema. Luego pasa por el punto origen una recta que coincida con la superficie del pasamanos y sobre ella coloca los dos puntos como en la figura.

¿Y físicamente? En este caso hay varias soluciones.

Se me ocurre que…

1. Si el pasamanos está en una pared puedes pegar dos tiras de cinta adhesiva (Masking Tape) en ella (o en donde sea) simulando los ejes X e Y, ambas deben ser perpendiculares entre sí (90º entre sus ángulos). Después marca un punto en el pasamanos y mide la distancia hacia de él hacia el eje X (verticalmente) y luego hacia el eje Y (horizontalmente), con lo cual obtendrás sus coordenadas (Punto P1). Haz lo mismo para otro punto (P2). Lo demás son operaciones artméticas y algebraicas en tu cuaderno.

2. Puedes marcar la pared simulando los dos ejes utilizando para ello una cuerda impregnada de polvo de un color que contraste con el de la pared, la recta sería el pasamanos.

Cabe mencionar que los dos ejes coordenados (X e Y) puedes trazarlos en cualquier lugar del pasamanos, ya sea al principio del mismo, a la mitad, o al final, en donde se acomoden mejor para medir distancias de los puntos a ellos.

En cualquier solución que apliques evita dañar la pared.

También puedes utilizar un transportador para determinar el ángulo del pasamanos respecto del eje X y luego aplicas la fórmula m = tg α, o en su defecto puedes utilizar un instrumento llamado Inclinómetro o un Goniómetro, etc. puede haber más soluciones.

En fin, se que tienes ingenio para encontrar mejores soluciones que las que propuse.

Supongamos que los puntos que obtuviste tienen las siguientes coordenadas (20, 20) Cms. y (70, 70) Cms.

Aplicamos la fórmula obtenida en el Tema 7,

m = (y2-y1)/(x2-x1).

Al sustituir los datos obtenemos:

m = (70-20)/(70-20) = 50/50 = 1

Entonces la pendiente del pasamanos de la figura es: 1

Pero vayamos más allá, ¿y el ángulo de inclinación (α) del pasamanos de cuantos grados es?

Para ello aplicamos la fórmula:

m = tg α;

Despejando α queda…

α = tg-1(1) = 45º ¡Sencillo! ¿No crees?

logowpbeige

Solo por practicar determina las pendientes de las siguientes figuras. 1, 2, 3, 4.


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6 responses

16 09 2013
Jorge La Chira

Actualmente estamos desarrollando el Proyecto CUENTAME
Le dejo el enlace, espero se de un tiempo para enviarme sugerencias
http://matesjotaele3.blogspot.com/
…………

Excelente, claro que sí colega.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

16 09 2013
Jorge La Chira

Saludos desde Perú…
Felicitarlo por todos los paortes que nos brinda en estos tópicos.
………….

Hola Profr. Jorge La Chira.
Igualmente colega, no olvido tu página.
Un abrazo cordial.
Ing. I. Guerrero Z.

27 09 2009
Octavio

una preguntilla utilizando un sistema de ecuaciones del tipo mx+b se podria determinar el angulo ejemplo una torre de trasmicion en una monteña(no en la sima sino en una parte inclinada) mis datos son 25m de la torre y kiero determinar cual es la longitud de el cable asi como los grados ke se forman en el triangulo haa y el triangulo no tiene lados rectos.
……………..

Hola Octavio…
A partir de una ecuación de la forma y=mx+b puedes determinar varias cosas, ya que por ejemplo de la ecuación: y=2x+3; m=2; por lo tanto: tg(angulo)=2; por lo que: angulo=InvTg(2); a partir de lo cual puedes determinar el ángulo que forma la recta respecto de una vertical que puede ser por ejemplo la estructura central de la torre. Luego el 3 es la coordenada de y cuando x=0; en fin, puedes obtener varias cosas.
Saludos y suerte.
Ing. I. Guerrero Z.

13 08 2008
ernesto mendiola

nada pss qe tengan todas laas formuLaas de geometriia se neseciitan

24 09 2007
iguerrero

Hola Jorge…

Colega, te está quedando muy bien tu página. Sin duda, tienes excelentes ideas, por ejemplo la de fusionar tres elementos distintos como son Google Earth, Excel y la Geometría Analítica, eso es estar actualizado, te felicito por ello y por el esfuerzo que estás realizando.

Respecto de lo que me comentas de excel quizá te refieras a la fórmula en dicho programa para calcular el ángulo entre dos rectas por medio de sus pendientes. Dicha fórmula es la siguiente:

=GRADOS(ATAN((A2-A1)/(1+A2*A1))) Excepción cuando m1*m2=-1

Si quieres evitar m1*m2=-1 puedes ampliar la fórmula a la siguiente:

=SI(A1*A2=-1,”DIVISIÓN POR CERO”,GRADOS(ATAN((A2-A1)/(1+A2*A1))))

Con ello te arroja el texto: DIVISIÓN POR CERO.

¿Sugerencias para tu web? Tal vez si pusieras un apartado respecto de motivación o cosas de los alumnos (por ejemplo de tus mejores alumnos), tus ideas, etc. la parte humana de tu cátedra, tratando de motivarlos pienso que te quedaría mejor.

Recibe saludos.

Ing. I. Guerrero Z.

23 09 2007
JORGE

Ing. I. Guerrero Z. reciba mis saludos.
Le hago llegar una web que estoy elaborando en geometria analitica, en donde Incluyo dos de sus tópicos.
http://www.everyoneweb.com/geoanaliticaenlaregion/
Si no fuera mucho pedirle sugerencias
Mi incoveniente esta en la aplicaciónen de excel en ángulos en dos rectas.
Le seguiré agradeciendo por ese apoyo permanente en la elaboración de sus artículos

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