Tema 22. Otra fórmula de don René Descartes.
Actualización: Octubre 05 de 2009
Fecha de publicación inicial: Octubre 09 de 2007
¿De dónde sacó don René la fórmula:
Tg(a)=(m2-m1)/(1+m2m1)
¿La soñó, o le cayó una manzana y le nació la idea como a Newton?
En realidad no es complicado saber como llegó don René a la fórmula anterior, solo se basó en los conocimientos de “Fulano de tal” su antecesor, cuando inventó la identidad:
TgΘ = Tg(α2–α1) =
[tgα2–tgα1]/[1+tgα2 tgα1]
A la cual llegaremos partiendo de nuestro problema particular con la relación:
Ángulo a = ángulo b menos ángulo c, o expresado con literales:
a = b – c.
Hagamos algunas manipulaciones algebraico/trigonométricas ¡¡¡Ufff!!! Se oye muy feo, dicho de otra manera hagamos especulaciones matemáticas… ¡¡¡Recontra Ufff!!! Se escucha peor…
¡Bah! en realidad no es tan complicado.
Afectemos ambas partes de la expresión: a = b – c, con la función llamada tangente, quedando:
Tg(a) = Tg(b-c), pero… según Aurelio BALDOR la tg(b-c) = [tg(b)-tg(c)]/[1+tg(b)tg(c)]
¿La recuerdas? ¡lo dudo! (página 349, renglón 8 del Texto: Geometría plana y del espacio y Trigonometría, edición 1982 que -mención aparte- se hiciera rico con sus libros de matemáticas.
Por lo tanto:
Tg(a) = [tg(b)-tg(c)]/[1+tg(b)tg(c)]
Pero ya sabemos que:
Tg α = m, por lo tanto, haciendo:Tg(b) = m2, y Tg(c) = m1 queda:
Tg(a) = (m2-m1)/(1+m2m1)
Escrito de otra manera:Tg(α) = (m2-m1)/(1+m2m1)
Que es exactamente lo mismo que la expresión:
TgΘ = Tg(α2–α1) = [tgα2–tgα1]/[1-tgα2 tgα1] = (m2-m1)/(1+m2m1)
Con la única excepción de que: (m2)(m1) sea diferente de 1
¡¡¡¡Okkkk´!!!!
Te recomiendo revisar toda la demostración de la identidad básica que inicia en la página 345 del texto de Baldor.
el espacio del ing. i. guerrero 
Excelente explicacion ingeniero! Le tengo una consulta, en el tema anterior la formula usada (y al principio de este tema) es
Tg(a)=(m2-m1)/(1+m2m1),
pero al final de la demostración de este tema queda
–> TgΘ = Tg(α2–α1) = [tgα2–tgα1]/[1-tgα2 tgα1] = (m2-m1)/(1-m2m1).
Mi duda es con el signo, en la primera formula el denominador tiene el valor de (1+m2m1) y en la segunda formula es (1-m2m1). Cual de las dos formulas es la correcta en el denominador? Bendiciones!!
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Hola Alex…
Muchas gracias por tu comentario y muy buena tu observación que me permitió corregir un error «de dedo» en la escritura de las expresiones.
La correcta es la primera obviamente y ya está corregido el tema.
Un abrazo en estas fechas y feliz 2011
Ing. I. Guerrero Z.
Muy interesante su blog, me gustaria tener mas información acerca de sus actividades en el área de Matemáticas, ya que un servidor está trabajando en la construcción de un aula virtual para geometria analitica, en la seccion correspondiente a las cónicas.
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Hola Colega Luis Jorge…
Todo lo que he «aprendido» de matemáticas y otras áreas pretendo dejarlo aquí, ideas y demás (solo que actualmente estoy «atorado», no he escrito mucho porque mi máquina «tronó» no me aguantó el ritmo ¡Ja!).
Sobre las matemáticas me parece que el enfoque que debería dárseles es un 80% práctica y un 20% teoría. Luego entonces, tendríamos de desarrollar muchísimos más ejemplos de carácter práctico, mismo que verás aquí en la medida de mi tiempo.
Saludos cordiales.
Ing. I. Guerrero Z.
Si usted hace una medida experimental de un ángulo θ con una incertidumbre Δθ, y necesita calcular la función Tgθ, ¿cual es la incertidumbre en el cálculo de Tgθ?
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Hola Catherine…
No tengo la menor idea. Esta sección NO es de preguntas y respuestas, es solo para exponerte un punto de vista acerca de la G.A.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.
Hola…
No se a cual simbolo alfa te refieras, si acaso es a la utilización de este simbolo en particular debes saber que para demostrar una ecuación puedes utilizar alfa, beta, gamma, epsilon, o la letra que se te pegue la gana.
Por otra parte, este no es un lugar para demostraciones, más bien sirve para que tengas una idea o un camino para hacer el tuyo propio.
Puedes poner un comentario -si quieres- con tu propia demostración…
Recibe saludos.
Ing. I. Guerrero Z.
te falto poner el simbolo alfa en tu diagrama y como demuestras los mismo sin usar la identidad de baldor ?