Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 20. Punto medio de la recta que se forma con dos puntos colocados en un Sistema Coordenado Cartesiano.

Actualización: Septiembre 16 de 2009
Fecha de publicación inicial: Septiembre 19 de 2007

Igual que en el tema anterior, el problema de calcular el Punto Medio de una recta es bastante sencillo, así se trate de un sistema bidimensional. En este caso simplemente forma un triángulo rectángulo –igual que debes haberlo hecho en otras ocasiones- y proyecta los catetos hacia cada uno de los ejes.

Veamos un ejemplo.

Dos hormiguitas (igual pueden ser dos planetas, dos personas, dos autos, dos galaxias) salen de su residencia (en este caso un agujero) y se disponen a tomar el Sol colocándose a unos cuantos centímetros de él, tal como se muestra en la figura. Una tercera hormiguita no quiere alejarse mucho de su «casa» y se acomoda exactamente en el punto medio de la recta que se forma con las otras dos. ¿Cuáles son las coordenadas del dichoso lugar (Punto medio) en donde se colocó la última hormiguita?

Evidentemente la «casa» de la hormiguita es el punto de referencia, por lo tanto ahí colocaremos nuestro punto de origen de un Sistema Coordenado Cartesiano.

Proyectando los catetos del triángulo rectángulo que se forma hacia sus respectivos ejes simplemente calculamos el Punto Medio para cada caso.

Aplicando la regla que establecimos en el tema anterior:

X = (x₁+x₂)/2 = (-3+1)/2 = -2/2 = -1
Y = (y₁+y₂)/2 = (-2+3)/2 = 1/2 = .5

Entonces las coordenadas del Punto Medio son:

P.m. (-1, 0.5) Cms.

¿Complicado?

Si en lugar de los dos puntos extremos tuvieras un Punto medio y un punto extremo y quieres determinar el otro punto extremo solo aplica las siguientes fórmulas:

X₁=(2)(Pmx)-X₂ y Y₁=(2)(Pmy)-Y₂ obtenidas a partir de un simple despeje de las fórmulas para el punto medio y con ello obtendrás el punto en cuestión, por ejemplo:

Hallar las coordenadas de un punto extremo de un segmento que tiene su punto medio en: (4, 2) y el otro extremo es: (9, 5)

Solución.

X=(2)(4)-9=8-9=-1
Y=(2)(2)-5=4-5=-1

Por lo tanto, las coordenadas del otro punto extremo del segmento son: (-1, -1)

Bien, te dejo algunos ejercicios para que practiques solo por divertirte…

Dos objetos están colocados en las siguientes coordenadas.

P₁(-2, 3); P₂(6, 9)
P₁(2, -3); P₂(4, 3)
P₁(-1, 6); P₂(7, 3)
P₁(-6, 0); P₂(2, 4)
P₁(0, 4); P₂(2, 7)
P₁(8, 2); P₂(2, 3)
P₁(0, 0); P₂(4, 4)
P₁(-2, 2); P₂(2, 2)
P₁(6, 4); P₂(-6, 5)

Únelos y encuentra en todos los casos el Punto Medio, aplicando las fórmulas utilizadas para resolver el problema de las hormiguitas.