Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 7. Pero… ¿Cómo lo hizo don René Descartes?

Actualización: Julio 18 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Agosto 2 de 2007.

¿De dónde sacó las fórmulas:

1) M = (Y₂-Y₁)/(X₂-X₁), y,
2) Y-Y₁ = M(X-X₁)

Veamos como lo hizo el santo señor Descartes.

M se llama pendiente (puede indicarse con M, ó m, es igual).

¿Sabes que significa el término PENDIENTE?

La palabra tiene diferentes significados, puede interpretarse como preocupación por algo, como un asunto que estás por resolver, o como una especie de «arete» colgado de la oreja, sin embargo hay otra forma de entenderla y es en matemáticas.

A veces cuando alguien va a hacer ejercicio a algún lugar suele decir: subí una cuesta que tenía mucha pendiente, los que practican montañismo dicen: la montaña que subí estaba muy empinada, tenía mucha pendiente. Algún automovilista despistado pudo haber dicho: dejé el carro estacionado y olvidé meterle el freno de mano, de tal manera que cuando regresé lo encontré cien metros abajo hecho pedazos, es que el terreno tenía mucha pendiente.

Entonces, cuando se habla de inclinación de algo, ya sea de un terreno, o de una montaña, o de una escalera, etc, en matemáticas se habla de pendiente.

Pues bien… técnicamente para una recta la pendiente se define como: la tangente de su ángulo de inclinación. ¿Físicamente? Es como si estiraras y encimaras un trozo de hilo (simulando una recta) sobre la superficie de la cual quieres determinar su pendiente (línea rosa de la figura), la pendiente del terreno sería la tangente del ángulo que forma el hilo respecto de una recta perfectamente horizontal (eje X).

Todo lo anterior matemáticamente se escribe:

m = tg α

Y se lee como: La pendiente de una recta es igual a la tangente de su ángulo de inclinación. La letra utilizada para indicar el ángulo puede ser: α (Alfa), β (Beta), θ (Theta), A, B, C, o la letra que se te pegue la gana.

Una primera pregunta sería: ¿Y si un terreno fuera completamente horizontal -es decir plano y sin ángulo de inclinación- tendría pendiente? No. Cualquier superficie sin ángulo de inclinación no tiene pendiente, o dicho de otra manera: su pendiente sería cero.

¿m=0 para una superficie horizontal? Sí, porque α=0, entonces: Tg α = tg 0 = 0, la tangente de cero es igual a cero, compruébalo en tu maravilloso aparatito llamado calculadora.

¿Y si el ángulo de inclinación es de 90º, es decir, si la superficie fuera completamente vertical (por ejemplo un edificio) cuál sería su pendiente?

En este caso su pendiente sería infinita, porque la Tg α = tg 90º =∞ resulta infinito. Si lo compruebas en tu calculadora científica te marcará error porque no tiene el símbolo de infinito.

Una de dos, o la fórmula de la pendiente (m = Tg α) la inventó don René o ya existía, eso te corresponderá investigarlo, aunque… tengo la sospecha de que la inventó el señor Descartes, pero bueno… investígalo y cuando lo sepas escribes un comentario en este tema.

Como sea, resulta que también hay otra expresión para la tangente de un ángulo, y ésta sí ya debes conocerla:

Tg α = Cateto Opuesto/Cateto Adyacente

La tangente del ángulo de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual al Cateto Opuesto sobre el Cateto Adyacente. ¿La recuerdas? debiste utilizarla en la secundaria.

Ahora te diré el razonamiento de don René para concluir en la relación matemática: Y-Y₁ = M(X-X₁)

Antes de ello, para la siguiente figura: ¿Cómo podrías obtener la distancia que hay del punto X₁ al X₂ en la recta del dibujo?

Tienes dos alternativas:

1). Contar los pequeños espacios (segmentos) que hay entre un punto y otro, y,

2). Restar las coordenadas X₂ y X₁.

Contando segmentos nos da 4

Haciendo una resta entre los valores de X₂ y X₁ queda: X₂-X₁ = 5-1 = 4

El resultado es igual.

Ahora bien… contar segmentos para resolver este tipo de problemas de distancia entre dos puntos colocados en una recta resulta complicado en muchísimos casos, por ejemplo cuando tienes un punto en: 321 y el otro en 1,235 etc., etc., en estos casos es más sencillo restar a la coordenada final la coordenada inicial. Así pues te conviene memorizar la siguiente regla para calcular la distancia entre cualquier par de puntos, siempre debe ser: “Coordenada Final menos Coordenada Inicial” matemáticamente: X₂ – X_1.

La regla anterior funciona para cualquier caso, ya sea que los puntos tengan coordenadas positivas o negativas o una negativa y la otra positiva, el resultado en ambos casos (contando segmentos o aplicando la regla) será el mismo, claro, tienes que respetar la Ley de los signos.

Por ejemplo: Determina la distancia entre los puntos de la siguiente figura:

Distancia = X₂-X₁ = 5 – (-2) = 5 + 2 = 7

Comprueba lo anterior contando los segmentos.

Regresando al razonamiento que hizo don René para concluir en la relación matemática: Y-Y₁ = M(X-X₁), vamos a aplicar esta regla en un Sistema Coordenado Cartesiano.

Sean dos puntos: P(X, Y) y P₁(X₁, Y₁), colocados en un Sistema Coordenado Cartesiano. Únelos y dibuja un triángulo rectángulo con sus coordenadas, haciendo coincidir la recta que los une con la hipotenusa del triángulo.

Aplicando la regla “Coordenada Final menos Coordenada Inicial” obtenemos para el Cateto Opuesto proyectado al eje de las Y´s: Y-Y₁ y para el Cateto Adyacente proyectado al eje de la X´s: X-X₁, por lo que la expresión: Tg α = Cat.Op./Cat.Ady. podemos escribirla como:

Tg α = Cat.Op./Cat.Ady. = (Y-Y₁)/(X-X₁)

Si ya sabíamos que: Tg α = m; entonces m debe ser igual también a: (Y-Y₁)/(X-X₁), es decir: m = (Y-Y₁)/(X-X₁) ¿De acuerdo?

Para concluir lo único que tienes que hacer es una transposición de términos y así llegar a lo que concluyó don René.

m = (Y-Y₁)/(X-X₁) Pasando el divisor (X-X₁) del otro lado de la expresión te quedaría: m(X-X₁) = Y- Y₁ o bien:

Y-Y₁ = m(X-X₁)

¡¡¡LISTO!!! Esta es la expresión que descubrió don René Descartes y le denominó: Ecuación Ordinaria de la Recta o Forma de punto y pendiente de la ecuación de una recta.

En otras palabras, para determinar la ecuación de una recta (independientemente de lo que represente físicamente) solo requieres conocer las coordenadas de un punto (X₁, Y₁) y la pendiente (m) de la misma. Aplicado a nuestro entorno físico, por ejemplo en la trayectoria rectilínea de un cohete si conoces la distancia (X₁) y la altura (Y₁) que tiene en un momento dado y sabes además la pendiente (m) de la recta que está siguiendo entonces puedes determinar la ecuación que rige su trayectoria y con ello conocerás su altura y su distancia todo el tiempo respecto de un punto de referencia. ¿Qué tal?

Ahora bien, si ya sabes que: m = (Y-Y₁)/(X-X₁) y relacionas esta expresión con dos puntos cualesquiera de una recta: P₁(X₁, Y₁) y P₂(X₂, Y₂) te quedaría:

m = (Y₂-Y₁)/(X₂-X₁)

Ésta expresión te permitirá conocer la pendiente de una recta además de la ya conocida Tg α.