Tema 5. Repaso e interpretación de gráficas y ecuaciones.
Actualización: Julio 09 de 2009.
Fecha de publicación inicial: Julio 24 de 2007.
Ya vimos que la Geometría Analítica resuelve dos problemas fundamentales: la gráfica de una ecuación y la ecuación de una gráfica. Vimos también cómo graficar una ecuación y cómo obtener una ecuación a partir de una situación física real. Sabes también acerca de lo que es un Sistema Coordenado Cartesiano, y además ya sabes quién es el «mero mero» de esta área de las matemáticas. En fin, a estas alturas ya debes conocer varias cosas respecto de la Geometría Analítica producto del estudio de los cuatro temas anteriores.
Pues bien, la Geometría Analítica es teoría matemática, es razonamiento puro, es análisis de un caso y solución del mismo auxiliándose de otras ramas fundamentales de las matemáticas.
La Geometría Analítica es sencilla cuando tienes en mente el por qué del análisis y estás capacitado para manejar algunas herramientas básicas que debiste aprender en cursos anteriores, algo de aritmética, un poco de algebra y un poco más de trigonometría, conocimientos básicos, pero es importante que los tengas bien presentes cuando se requieran.
Nunca olvides esto: Las matemáticas son acumulativas. Lo que aprendes hoy lo necesitarás en los temas que verás mañana. Es como una pirámide, construyes la base, luego otro nivel y otro hasta que llegas a la cúspide. Así que si te sientes inseguro respecto de los temas básicos de Algebra, de aritmética o de trigonometría, es necesario que los repases. Valdría la pena que visitaras la sección de: Matemáticas Básicas que escribí especialmente para ti.
Para que las matemáticas sean más entendibles deben cubrir los siguientes pasos:
1. Tienes un problema o situación física perfectamente identificado.
2. Traduces el problema físico a una situación matemática.
3. Resuelves el problema matemático.
4. Interpretas físicamente los resultados matemáticos.
Hasta donde me sea posible intentaré cubrir estos cuatro pasos, aunque -de una vez te aviso- a veces tendremos que trabajar con MATEMATICA PURA, sin nada de situaciones físicas.
ECUACIONES.
Hay ecuaciones de primer, segundo, y más grados. Se les llama así por el exponente que tiene la variable independiente y por el resultado que muestran al graficarlas.
Por ejemplo:
Y=X²+X+1 Es una ecuación de segundo grado, ¿por qué? por el exponente mayor (2), de la variable independiente.
Y=X+3 Es una ecuación de primer grado por el exponente 1 de la variable independiente.
Y=X³+5X²+X+4 Es una ecuación de tercer grado.
Y=(X²+X)/X Es una ecuación de primer grado… Determina por qué si el exponente mayor es 2, si no lo sabes probablemente te sirva el siguiente enlace.
Ahora bien, ¿matemáticamente que representan dichas ecuaciones?
Grábalo en tu memoria:
Si la ecuación es de primer grado siempre representa una RECTA.
Si la ecuación es de segundo grado siempre representa una CURVA, igual si es de tercer grado.
Pero, ¿físicamente que representan las ecuaciones anteriores?
Pueden representar cualquier cosa.
Una ecuación de primer grado matemáticamente representa una recta y una recta puede representar físicamente la trayectoria de un vehículo durante cierto tiempo en tierra, pero también puede representar un proceso físico que es proporcional (o sea que en la medida en que crece una cosa también crece otra), puede también representar una trayectoria en la pantalla de un radar que simula a su vez el recorrido de un vehículo en el espacio, etc. Cualquier situación física que pueda relacionarse con una recta puede ser interpretada por medio de ella. Igual sucede con las ecuaciones de segundo grado, cualquier situación física que pueda interpretarse matemáticamente por medio de una curva parecida a la que obtengas de la gráfica de una ecuación eso es lo que representa.
Veamos un ejemplo.
Obtén la gráfica de la ecuación Y=(X²/100)-X+30 ¿De dónde salió esta ecuación? Me la dijo el señor que vende hamburguesas en la esquina…
Dale valores a X (variable independiente) de 10 en 10 empezando de cero, terminando en 100. ¿Por qué de 10 en 10 y no de 5 en 5 o de 1 en 1? Porque tardarías más.
A partir de los valores asignados determina:
1) el valor de Y cuando X es igual a CERO,
2) encuentra el valor mínimo de Y, y,
3) determina el tipo de curva que resulta durante los 100 Mts.
Te diré lo mismo pero con otras palabras.
Un avión de acrobacias sigue la ecuación Y=(X²/100)-X+30 (es la misma ecuación del señor de las hamburguesas) durante 100 Mts. medidos horizontalmente desde el punto de vista de un observador.
1) Determina la altura vertical del avión al observador,
2) la distancia mínima del avión al suelo en dicha trayectoria, y,
3) el tipo de curva que está siguiendo al moverse durante los 100 Mts.
Tu solución debe ser similar a lo siguiente…
Si el observador está situado en el punto de origen de un Sistema Coordenado Cartesiano, entonces:
X=0, e Y=(0²/100)-0+30=0-0+30=30 Interpretado físicamente la altura del avión respecto del observador es de 30 Mts.
Luego…
X=10, Y=(10²/100)-10+30 =1-10+30=21
X=20, Y=(20²/100)-20+30 =4-20+30=14
X=30, Y=(30²/100)-30+30 =9-30+30=9
X=40, Y=(40²/100)-40+30 =16-40+30=6
X=50, Y=(50²/100)-50+30 =25-50+30=5
X=60, Y=(60²/100)-60+30 =36-60+30=6
X=70, Y=(70²/100)-70+30 =49-70+30=9
X=80, Y=(80²/100)-80+30 =64-80+30=14
X=90, Y=(90²/100)-90+30 =81-90+30=21
X=100, Y=(100²/100)-100+30 =100-100+30=30
El punto más bajo o distancia mínima del avión al suelo es de 5 Mts.
El tipo de curva sería… una PARÁBOLA.
Con esto puedes comprobar que René Descartes tenía razón cuando decía que la naturaleza puede ser interpretada a través de la Geometría Analítica, es decir a través de puntos, rectas y curvas.
Después te diré como graficar y construir ecuaciones incluso más complejas que ésta, para que no tengas que ir a preguntarle al señor de las hamburguesas.
el espacio del ing. i. guerrero 
Hola Ing. Guerrero:
Estoy resolviendo el ejercicio dándole valores a X de 10 en 10, en la sustitución de X= 20 el resultado me sale 14 no 13, ya que 20 al cuadrado= 400, 400/100= 4, 4-20+30 = 14, ¿es correcto? de antemano gracias. Por cierto me ha salvado la vida con el blog.
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Hola Mariana…
Es correcto, ya corregí.
Un saludo y gracias por la observación.
Ing. I. Guerrero Z.
buenas tardes señor Ingeniero Guerrero de aragua actualmente cursando el 1er semestre de ingenieria electrica estoy viendo la materia de geometria analitica en la cual voy regular he presentado varios parciales y he estudiado muy poco para pasar la materia mire sera que me falta mas practica yo entiendo la materia pero cuando voy a presentar salgo aplasado necesito de colaboracion y ayuda gracias feliz tarde….
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Hola Pedro…
Lee los temas que tengo en la Sección de Geometría Analítica y estoy seguro que le entenderás.
Cabe mencionar que trato hasta donde me es posible de orientarlos hacia cuestiones prácticas.
Otra cosa. En la medida de mi tiempo seguiré escribiendo más temas y continuaré actualizando los ya escritos.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.
Le agradecerè su amabilidad de indicarme un libro de texto sobre geometrìa analìtica, que sea sencillo, entendible y fàcil de seguir.
Atentamente, le saluda, Ing. Fco. Cienfuegos Ibarra a 23 de Junio del 2009
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Hola Francisco…
Salvo raras excepciones en general no me gusta recomendar libros (y menos de matemáticas), sin embargo, por el orden y la claridad de los titulos de los temas si quisiera comprar un libro compraría el de:
http://books.google.com.mx/books?id=lUZCCAYSM0AC&printsec=frontcover&dq=geometria+analitica&lr=&ei=q6FBSv6JFY7UlQS9yqn7Dg
o bien el de:
http://books.google.com.mx/books?id=cYRE9rWilbkC&printsec=frontcover&dq=geometria+analitica&lr=&ei=7qNBSsSMD4HCkATqz43_Dg
Espero te sirvan.
Saludos cordiales.
Ing. I. Guerrero Z.
Hola buenas tardes soy una estudiante de 43 años que estoy cursando la prepa abierta,en la próxima materia voy a trabajar con la geometría analitica,pero se me hace un poco complicada a pesar de su explicación, no se si sera por que nunca en mi vida las había manejado o por la edad, pero la verdad es que si me interesa aparenderlas,y le pido a usted si sabe de alguna otra pagina en donde se detalle paso por paso algunos problemas o usted podria ayudarme. .Muchas gracias por su atencón.
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Hola Aura…
Antes que nada felicidades por tu esfuerzo por aprender.
Quizá no hayas visto todavía todos los temas que tengo de Geometría Analítica, desde el primero hasta el último, los cuales puedes encontrar en el siguiente enlace: https://iguerrero.wordpress.com/category/geometria-analitica/
En la página que aparece ve hasta la parte inferior y dale un clic en donde dice: entradas anteriores, asì te irás hasta el primer tema.
En internet puedes buscar Geometría Analítica Aplicada, quizá eso te ayudaría a entenderla mejor.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.
P.D. Quizá podría servirte: http://www.everyoneweb.com/geoanaliticaenlaregion/
pues no me sirvio esta informacion porque lo que queria saber es como se saca la extension de la curva y la formula.
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Oh, lo siento, quizá más adelante escriba un tema al respecto (cálculo integral).
Saludos y suerte en tu búsqueda.
Ing. I. Guerrero Z.
Buenas, soy vanessa de peru y me encantaria que pudiese ayudarme, gracias.
mi pregunta es sobre un problema de parabola
Alif se encuentra a 10 m de distancia de una pared que tiene 5 m de altura y quiere pasarle una pelota a Dorian que se encuentra al otro lado de la pared. Para lograrlo patea la pelota , la cual describe una trayectoria en forma de parábola, tal como se muestra en la figura. La máxima altura alcanzada por la pelota fue de 8 m y el lado recto de la parábola mide 8 m.
a) Determine la ecuación de la parábola descrita por la trayectoria de la pelota. Preséntela en su forma general. (Sugerencia: considere al punto V( 0 ; 8 ) como el vértice de la parábola) b) Indique si la pelota logra pasar la pared. Justifique su respuesta.
c) En el caso que logre pasar la pelota ¿a qué distancia m de la pared caerá la pelota en su primer rebote? (El gráfico no está a escala)
Espero su pronta respuesta si le es posible.
saludos
vanessa.
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Hola Vanessa…
Mi pronta respuesta es: No resuelvo tareas, solo oriento, ya lo he dicho varias veces Vanessa, por esta razón te recomiendo busques en: http://www.matematicas.net/ quizá ahí encuentres una solución.
Te envío saludos y siento no poder ayudarte.
Ing. I. Guerrero Z.
Hola es pero pueda responder mi duda, lo que pasa es que estudio licenciatura en matematicas y no puedo definir la extension de las curvas principalmente
de este tipo x² + 2xy + y² + 2x – 2y – 1 = 0 me cuesta mucho graficarlas, ¿hay algun metodo q me ayude a resolverlas?
Gracias por su ayuda.
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Hola Mauricio…
Si lo hay, el texto Geometría Analítica (soluciones) de Anfossi y Flores Meyer propone soluciones de graficación por simple inspección para ecuaciones dadas, y es bastante simple de entender. Te recomiendo su lectura.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.
(HOLA) estoy viendo en prepa las graficas, a una ecuacion de 1º corresponde una recta, a una de 2º una parabola, pero como se llama la que corresponde a una ecuacion de 3º ¿?
espero puedas resolver mi duda. (GRACIAS)
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Hola Paty… dos cosas.
1. Se más cortés cuando preguntes y agradece por anticipado. Hacerlo generalmente da mejores resultados, sobre todo en lugares en donde nadie está obligado a contestarte.
2. Una ecuación de primer grado representa una recta, las de segundo o de tercer grado representan curvas (circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas, parábolas semicúbicas, etc).
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.
Hola:
Soy una estudiante de prepa y te quiero agredecer este repaso, pues yo apenas estoy entrando a ver lo que es la geometria analitica, y de la forma en la que tu la explicas es muy entendible.
Muchisimas gracias
estimado ingeniero: soy ingeniero civil y estoy estudiando la trayectoria de un vehiculo dentro de la parábola. He buscado por todo el mundo la ecuación de frenada dentro de ésta pues los textos comunes les faltaría un termino que corresponde a » distancia al cuadrado dividido por dos veces el parámetro de la parábola» y no lo hallo en ningún paper en internet. Son distintas las consideraciones de frenado si el conductor se situa Antes de la parábola o dentro de ella.
Tampoco encuentro la deducción (las fórmulas las tengo) de las distancias de visibilidad disponible para una frenada en parábolas convexas o/y cóncavas pues son distintas. Y las necesitpara determinar la longitud de las parábolas en función del vehículo.
le agradecería muchísimo si me comenta algo al respecto o me recomienda alguna libro que aparezcan estos temas.
gracias de antemano
Maria.
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Hola Maria…
Me encantaría ayudarte pero en esta ocasión no será. Lo que puedo hacer es preguntarle a uno de mis colegas (licenciado en matemáticas) al respecto. Si tiene información veremos la forma de hacértela llegar.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.