Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 24. Distancia entre dos rectas paralelas.

Si alguien te preguntara ¿Cuál es la distancia existente entre el par de rieles de la vía del ferrocarril? Lo más probable es que la obtendrías midiendo con una cinta de un riel a otro formando una perpendicular entre ambos, lo cual está bien, solo que esa es la antigua geometría de Euclides, la cuestión es: ¿cómo hacer lo mismo aplicando la geometría moderna de R. Descartes que ya sabemos que es más exacta y no requiere reglas escuadras ni compaces?

Te diré tres formas de hacerlo aplicando la Geometría Analítica.

Si ya sabes calcular la distancia de un punto a una recta te resultará sencillo determinarla entre dos rectas que son PARALELAS. Veamos un problema.

Hallar la distancia entre las rectas:

1) y=2x+1; 2) y=2x-4

Solución…

Puesto que ambas rectas están expresadas de la forma: y=mx+b es fácil determinar su pendiente (m), que en este caso es 2 Para que sean paralelas recuerda que su pendiente debe ser igual (coeficiente de x).

De lo anterior deducimos que una recta PERPENDICULAR a las otras dos tendría una pendiente: m = -1/2

Un punto de una de las dos rectas, por ejemplo de: y=2x+1 sería:

Si x=1; entonces: y=(2)(1)+1=2+1=3; por lo tanto las coordenadas de uno de sus puntos son: P(1, 3)

Entonces si ya conocemos las coordenadas de un punto P(1, 3) y ya tenemos la ecuación de la otra recta: y=2x-4 que es PARALELA podemos aplicar la fórmula de Descartes para calcular la distancia entre un punto y una recta, solo necesitamos expresar la ecuación de la recta 2) en la forma general para saber cuáles son los valores: A, B y C.

Procedamos pues…

y=2x-4

-2x+y+4=0; por lo tanto: A=-2; B=1; C=4

Ahora sí, sustituyendo datos en la fórmula de Descartes…

d= |(-2)(1)+(1)(3)+4|/±√[(-2)²+(1)²]

d= |-2+3+4|/±√[4+1]

d= |5|/±√5

d= 5/±2.23

d = ± 2.24 Unidades.

Pero… qué tal si comprobamos el resultado anterior encontrando dos puntos por donde pase una perpendicular a ambas rectas y aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos, también ¡Obvio! de R. Descartes.

Hagámoslo…

Ya tenemos un punto P(1, 3) y la pendiente: m=-½ de la recta PERPENDICULAR a ambas rectas PARALELAS entonces podemos conocer la ecuación de la recta que pasa por dicho punto. Sustituyamos pues ambos datos en la fórmula y-y₁=m(x-x₁) de Descartes para determinar la ecuación.

y-3=-1/2(x-1)

y=-1/2x+1/2+3

y=-1/2x+7/2

Ok´ ya tenemos la ecuación de la recta que pasa por P(1, 3) y que es PERPENDICULAR a ambas PARALELAS, ahora tenemos que encontrar las coordenadas del otro punto mismo que resulta de la intersección de la PERPENDICULAR con la recta 2) y=2x-4

Igualando ambas ecuaciones…

y = y

2x-4 = -½x+7/2

2x+½x = 7/2+4

2.5x = 3.5+4

2.5x = 7.5

x = 7.5/2.5

x = 3

Sustituyendo en la ecuación 2)

y = 2x-4 = (2)(3) – 4 = 2

Bien entonces las coordenadas del puntode intersección (o de cruce) de la PERPENDICULAR con la otra recta PARALELA son: Q(3, 2)

Ahora sí, apliquemos la fórmula de la distancia entre dos puntos: d=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]

Sustituyendo datos…

d = √[(3-1)²+(2-3)²]

d = √[(2)²+(-1)²]

d = √[4 + 1]

d = √5

d = 2.23 Unidades.

Como podrás observar el resultado es prácticamente igual, la pequeña diferencia se da por las decimales que se recortan al momento de estar dividiendo las fracciones, si utilizas todas las decimales el resultado es exactamente el mismo.

Pero, pero, pero… hay otra manera todavía más sencilla de hacerlo, simplemente utiliza la fórmula:

En donde: b₁ y b₂ son los términos independientes de ambas ecuaciones y m es la pendiente de las rectas paralelas.

Sustituyendo datos…

d = [b₁-b₂] / ±√[1+m²]

d = [1-(-4)] / ±√[1+2²]

d = [1+4] / ±√[1+4]

d = 5 / ±√5

d = ± 2.24 Unidades.

Bueno… ¿y físicamente todo lo anterior en dónde diablos puedes aplicarlo?

Si por ejemplo necesitaras calcular la distancia entre dos banquetas paralelas, entre dos rieles de las vías del tren, entre dos paredes paralelas, entre dos galaxias en forma de espiral por las cuales pasan dos paralelas, etc., en cualquier lugar en donde existan dos cosas u objetos que parezcan dos rectas PARALELAS.

Solo por practicar calcula la distancia entre ambas rectas representadas por las ecuaciones:

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1) y=-4x-2

2) y=-4x+3

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1) y=(1/2)x + 1

2) y=(1/2)x +4

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1) y=x+3

2) y=x-5

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