Tópicos de Geometría Analítica.

Tema 17. Perpendicularidad entre dos rectas.

Actualización: Septiembre 06 de 2009
Fecha de publicación inicial: Septiembre 13 de 2007

Iniciemos nuestro estudio igual que lo hicimos en el tema anterior, determina la gráfica de las siguientes ecuaciones.

Y=-2X+1
Y= (1/2)X-3

Al graficarlas obtendrás algo semejante a lo que ves en la imagen de al lado. Ahora a-na-li-ce-mos lo que obtuviste.

¿Qué observas en la gráfica?
¿Las rectas se cruzan formando ángulos de 90º? Puedes medir con tu transportador.

Analizando las ecuaciones de las cuales se originaron ¿observas algo similar en ellas? Olvídate del tres y del uno, atiende solamente a los coeficientes de la X (el número que la acompaña). Tienes que encontrar una relación entre los dos números.

Antes de dar un “Clic” en Leer el resto de esta entrada… debes haber encontrado algo que es común en ambas ecuaciones.

Del análisis del par de ecuaciones debiste haber determinado lo siguiente.

1). Los coeficientes de X son inversos.
2). Los coeficientes de X tienen signo contrario.

Cuando dos ecuaciones escritas de la forma: Y=mX+b tienen el coeficiente de X inverso y de signo contrario, representan a dos rectas perpendiculares entre sí. Ahora bien ¿es suficiente con el análisis que hiciste?

A mi juicio sería suficiente con un buen a-ná-li-sis, sin embargo no nos quedaremos ahí y comprobaremos lo que descubriste.

Pero… ¿Cómo hacerlo? ¿Cómo comprobar que efectivamente descubriste una propiedad entre dos rectas?

Lo comprobaremos de la siguiente manera (no es la única forma de hacerlo).

Para el par de ecuaciones sabemos que: m₁=-2 y m₂=1/2 son las pendientes de ambas.

De lo que hemos visto anteriormente: si hacemos tg α = m₁ e igual tg α = m₂, con ambas expresiones podemos determinar los ángulos que tienen las dos rectas respecto del eje de las X.

Para la primera expresión: Tg α1 = m₁; α1 =tg^-1(-2)=-63.43º

Para la segunda expresión: Tg α2 = m₂; α2 =tg^-1(1/2)=26.56º

Por el punto de intersección (cruce) de ambas rectas traza una paralela al eje X.

El primer ángulo (-63.43º, recta azul) se abre en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que el otro (26.56º recta amarilla) se abre en sentido contrario a las manecillas del reloj. Suma ambos ángulos -sin atender al signo- para ver el ángulo que hay entre ambas rectas y te darás cuenta de que existe un ángulo aproximado de 90º. Si al sumar, utilizáramos todos los decimales de cada ángulo resultarían los 90º exactamente.

E ahí la comprobación. Entonces, concluyamos ahora con mayor seguridad.

Cuando las pendientes de dos rectas son reciprocas e inversas de signo contrario, ambas rectas son PERPENDICULARES entre si.

A esa conclusión llegó don René Descartes después de varios años de estudiar ecuaciones, y a eso mismo llegaste tú en unos minutos, mira que hemos avanzado…

Solo por practicar resuelve los siguientes ejercicios. Determina a-na-li-ti-ca-men-te (solo inspeccionando las ecuaciones) los pares que representen rectas perpendiculares. A manera de comprobación grafica un par.

1.) Y=4X-2
2.) Y=(1/6)X+2
3.) Y=-(1/4)X-1
4.) Y=(2/5)X+5
5.) Y=-6X-3
6.) Y=(5/2)X+6
7.) Y=-(2/5)X+2
8.) Y=-(5/2)X+3
9.) Y=(2/3)X+1
10.) Y=-(3/2)X-10