Tópicos de probabilidad.

27 06 2016

Tema. PERMUTACIONES.

Wikipedia Saliendo de la PantallaNada que ver con mutaciones genéticas, enfermedades, o algo similar, el tema se refiere a  encontrar la cantidad de posiciones que pueden tener, dos, tres, cuatro, o el número de objetos que quieras ordenar; cosas, personas, a quienes alternas entre sí, cambiándolos de lugar.

Nuestra amada enciclopedia Wikipedia define así a las Permutaciones:

“En matemáticas, una Permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto.”

Y la definición formal:

“Una Permutación de un conjunto X es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.”

A ver… este tema está muy ligado al anterior: Factorial de un número, sin embargo va un poco más allá. Resolvamos algunos problemas para aclararlo.

Problema. En tu grupo hay cuatro alumnos “inquietos” y el profesor ha decidido separarlos poniendo uno en cada esquina del aula. ¿De cuántas formas puede hacerlo escogiendo de uno en uno al azar y ubicándolo en la esquina que sea?

Caso 1… Cuando las cantidades coinciden en número (4 estudiantes, 4 lugares), simplemente determinas el Factorial de un número…   

nFactorial4! = (4)(3)(2)(1) = 24 formas de colocarlos, uno en cada esquina.

[1234] [1243] [1324] [1342] [1423] [1432] 
[2134] [2143] [2314] [2341] [2413] [2431] 
[3124] [3142] [3214] [3241] [3412] [3421] 
[4123] [4132] [4213] [4231] [4312] [4321]

Observa que en el caso anterior solo aplicamos el Factorial de un número y llegamos al resultado fácilmente, así sucederá siempre que solo busques simples ordenaciones, sin embargo cuando existen condiciones para acomodar a los jóvenes, por ejemplo si el profesor eligiera por parejas, entonces el proceso cambiaría, en tal caso tendrías que aplicar la siguiente fórmula:

Caso 2… Cuando las cantidades coinciden en número (4 estudiantes, 4 lugares) pero hay una condicionante: deben ser de dos en dos. En este caso utiliza la fórmula:

FORMULApermutaciones

En donde:

n es el número de elementos (4 en este caso).
P Son las Permutaciones que resultarán.
r es la condicionante. (2 en este caso).

Así pues, sustituyendo datos…

Perm. = 4!/(4-2)! = 24/2! = 24/2 = 12 Formas posibles de hacerlo.

Las parejas serían las siguientes:

[1-2] [1-3] [1-4] [2-1] [2-3] [2-4[3-1] [3-2] [3-4] [4-1] [4-2] [4-3]

Observa un “detalle” que te permitirá diferenciar correctamente más adelante las Permutaciones y las Combinaciones que veremos después; si revisas bien algunas parejas se repiten, por ejemplo: [1-2] y [2-1] en realidad son los mismos estudiantes: el 1 y el 2, pero tratándose de Permutaciones aunque se repitan los elementos lo que importa es la posición que tengan estos, pues no es lo mismo que el estudiante 1 esté a la izquierda del 2, o viceversa.

Pero vayamos más allá, y si en lugar de separar a los alumnos el profesor quisiera juntarlos a los cuatro en una mesa circular cercana a su escritorio, ¿de cuántas maneras podría sentarlos/colocarlos ahí, uno al lado de otro?.

Primero resolvámoslo haciendo un análisis. En una mesa circular (o cuadrada) no importaría la posición en la que quedara cada alumno, lo que tendría que tomarse en cuenta es quién quedó al lado de cada quién, en este sentido las posiciones solo podrían ser:

perCIRC1

Resultaron 6 Ordenaciones.

Para resolverlo matemáticamente debes aplicar la siguiente fórmula:

———————————
Perm. = n!/n
———————————

Sustituyendo datos quedaría: 4!/4 = 24/4 = 6 Acomodos posibles.

Resolvamos otro problema.

Dos personas (1 y 2) tienen cinco opciones para vestir camisas de distinto color (Rojo, Azul, Verde, Negro y Café), ¿de cuántas formas podrían hacerlo?.

A ver… analicemos… Una ordenación es por ejemplo: [1Rojo-2Azul], otra es: [1Rojo-2Verde], otra es [1Rojo-2Negro], etc., de tal manera que en total obtendrías los siguientes:

[1Ro-2Az] [1Ro-2Ve] [1Ro-2Ne] [1Ro-2Ca] [1Az-2Ve]
[1Az-2Ne] [1Az-2Ca] [1Ve-2Ne] [1Ve-2Ca] [1Ne-2Ca]
[2Ro-1Az] [2Ro-1Ve] [2Ro-1Ne] [2Ro-1Ca] [2Az-1Ve]
[2Az-1Ne] [2Az-1Ca] [2Ve-1Ne] [2Ve-1Ca] [2Ne-1Ca]

Así pues, existen 20 ordenaciones.

Ahora apliquemos la fórmula correspondiente para determinarlo, por supuesto que el resultado debe ser el mismo, quedando de la siguiente manera:

Perm. = 5!/(5-2)! = 120/3! = 120/6 = 20 Ordenaciones o Formas posibles de hacerlo.

Nota importante. Debes tener cuidado al emplear los procedimientos descritos, pues uno se utiliza cuando hay coincidencia entre los elementos del problema (caso1. 4 personas y 4 lugares), pero si existen condiciones (de dos en dos, de tres en tres…), utilizas fórmulas como en el (caso 2: 2 personas y 5 camisas).

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