Tópicos de Probabilidad.

17 06 2016

Tema. FACTORIAL de un número.

LadyGaGaWikipedia¿Qué es el Factorial de un número?. La referencia más simple está en nuestra archi-famosa enciclopedia Wikipedia la cual señala lo siguiente:
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El factorial de un entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n.

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el siglo XII por los estudiosos hindúes.
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Suficientemente claro… ¿O no?. Espero que sí, por lo tanto…

Vamos directamente al siguiente problema.

¿De cuántas maneras puedes “acomodar” los siguientes números?.

528probA ver… hagámoslo “a pie”

El primer acomodo es el que tienen los números: 5, 2, 8; otro es haciéndolo al revés: 8, 2, 5; otro más sería intercambiando los últimos dos números: 5, 8, 2; de tal manera que obtienes un total de:

[528] [582] [258] [285] [852] [825]

En total obtienes 6 ordenaciones.

Así pues, si tienes 3 elementos, sean números, letras, objetos, personas, etc., y quieres saber de cuántas maneras podrías acomodarlos, siempre vas a tener un total de 6. (Es igual que si desearas ordenar los siguientes rostros de ojos enigmáticos).

Ojos Enigmaticos1

Pero… ¿y si tuvieras 4 elementos, por ejemplo las letras: A, B, C, D. De cuántas maneras podrías acomodarlas?.

Bueno… en este caso las ordenaciones hechas “a pie” son las siguientes:.

[ABCD] [ABDC] [ACBD] [ACDB] [ADBC] [ADCB] 
[BACD] [BADC] [BCAD] [BCDA] [BDAC] [BDCA] 
[CABD] [CADB] [CBAD] [CBDA] [CDAB] [CDBA] 
[DABC] [DACB] [DBAC] [DBCA] [DCAB] [DCBA]

¡Uff! Obtendrías 24 acomodos de las letras, que igual podrían ser 24 acomodos de personas, 24 acomodos de autos, 24 acomodos de colores, etc.

Pero, pero, pero… ¿y si en lugar de cuatro letras fueran 6?.

Hmmm… NOOOO, este procedimiento “a pie” podría aplicarse sin problemas hasta el caso anterior, pero más de 4 elementos, por ejemplo: 6, 20, 50, etc. ¿te imaginas el tiempo que tardarías en hacerlo?. Bien, para estos casos y para los anteriores ¡AFORTUNADAMENTE! existe -menos mal- lo que se denomina Factorial de un número, el cual al aplicarlo obtienes el total de ordenaciones de cosas u objetos, independientemente de la cantidad que sea realizando una sencilla operación matemática.

El Factorial de un número se representa así:

nFactorial

(Así está escrito en los libros y en aplicaciones Android).

O en tu calculadora científica está representado con:

xfactorial

¿Pero lo anterior que significa?

La letra acompañada del signo final de admiración denominada Factorial de un número, matemáticamente implica que realices la siguiente operación: multiplicas la cantidad de elementos que tengas por el entero inmediato inferior sucesivamente hasta llegar a 1.

Hagámoslo…

Por ejemplo en el primer caso tienes tres números, por lo tanto tendrías 3! el cual desarrollado sería:

3! = (3)(2)(1) = 6. Sí, el resultado es 6 ordenaciones (igual que cuando lo resolvimos “a pie”).

En el segundo caso tenemos cuatro elementos y buscando el total de acomodos posible, simplemente hacemos:

4! = (4)(3)(2)(1) = 24. Entonces tendríamos 24 ordenaciones. Como puedes observar coincide con el resultado obtenido anteriormente.

Y si se tratase de 5 elementos. En este caso tendríamos:

5! = (5)(4)(3)(2) = 120 ordenaciones. (El 1 al final puedes ignorarlo).

Y si se tratase de 23 elementos. En este caso tendrías en tu calculadora:

2.5852016738885×10^22 o igual: 25 852 016738 885000 000000 ordenaciones. ¿Puedes traducir esta cantidad al lenguaje común?. Seguramente tardarías un rato en hacerlo, sin embargo aquí está: Veinticinco mil ochocientos cincuenta y dos cuatrillones, dieciséis mil setecientos treinta y ocho trillones, ochocientos ochenta y cinco mil billones de ordenaciones. ¡Ja! Ni una más, ni una menos. ¡Qué tal! No te preocupes, ni yo imagino esa cantidad de “acomodos” posibles de 23 cosas, objetos o personas, pero lo interesante aquí es: ¿cuánto tiempo habrías tardado en encontrar “a pie” esta “pequeña” cantidad? ¿Un año? Quizá, si es que no descubres después de un rato de trabajar el problema que dentro del proceso hay cierta repetición, pero pienso que sí lo descubrirías, y quizá en menos de una hora ya lo habrías resuelto, ahora bien, escribir todas las ordenaciones posibles, eso sí te llevaría algunos meses.

En fin…

En el siguiente tema veremos una aplicación del Factorial de un número, por lo pronto diviértete un rato resolviendo los siguientes ejercicios (y traduce los resultados al lenguaje común):

6!
7!
8!
9!

 logowpbeige


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