Tópicos de Estadística.

3 06 2016

Tema 19. CUANTILES (Cuartiles, Deciles y Percentiles).

Este tipo de medidas llamadas a veces Medidas de Posición No Central, simplemente dividen a todo un conjunto de Datos en partes iguales. Los Cuantiles más comunes son los: Cuartiles, Deciles, y Percentiles. Esta vez analizaremos los cuartiles.

CUARTILES. ¿Qué son? ¿Para qué sirven?…

Q1Q2Q3

El término CUARTIL al escucharlo da una idea de lo que trata. Cuartil, cuarto, cuarta parte de un conjunto de datos. Un Cuartil es el número que limita en cuartas partes (25%) una muestra o el total de datos que componen un estudio, y se representa comúnmente con la letra Q. Entonces, en un conjunto de datos existen tres cuartiles: Q1, Q2, y Q3, los que dividirán en cuatro partes iguales a toda la muestra de datos.

La forma más sencilla de trabajar con cuartiles implica ordenar todos los datos (de menor a mayor), y enseguida proceder a determinar tres Medianas. La mediana “natural” de los datos representa al segundo cuartil, posteriormente de las dos partes que quedan a los lados de la mediana “natural” se obtienen las medianas de cada una, quedando de esta manera separado todo el conjunto en cuatro partes iguales. Surgen pues tres cuartiles: primer cuartil (Q1) que corresponde al primer 25% del total de datos ordenados, el segundo cuartil (Q2) que corresponde al 50% de los datos, y el tercer cuartil (Q3) que corresponde al 75% del conjunto. El cuarto cuartil no tiene sentido calcularlo pues correspondería al 100% de los datos. Pero en fin, entre cuartiles, medianas y cuantiles, a veces todo el mundo termina enredado, así que nada mejor que resolver un problema para aclarar el asunto.

Problema. Sean las calificaciones de 13 alumnos en una asignatura.

8, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 8, 8, 6, 8, 7, 9

Determinar el primer y el tercer cuartil del conjunto de datos.

Solución…

Primero ordenamos las calificaciones.

4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9

Enseguida determinamos a la mediana “natural” del conjunto (recuerda que la mediana es el valor que está exactamente al centro de los datos ordenados).

Cuantiles1PS

La mediana “natural” de los datos corresponde al segundo cuartil (50%), el cual en este caso no nos interesa, por lo que buscaremos entonces al primer cuartil que corresponderá a su vez a la mediana de los datos que quedaron a la izquierda del valor anterior. Solo que… hay un pequeño “detalle”… algo así como una mosca en la sopa. La pregunta es: al calcular el valor del primer cuartil ¿incluimos el valor de la mediana “natural” o lo ignoramos?. 

moscaensopaEn realidad puede hacerse de las dos formas, y a veces los resultados son idénticos, no obstante lo anterior establece dos casos: el primero, cuando se INCLUYE a la mediana “natural”, y el segundo, cuando se EXCLUYE. Para verlo resolvamos el problema de las dos formas.

Forma 1: Obtenemos la mediana INCLUYENDO a la Mediana “natural”.

Cuartil1PS

Por lo que el primer cuartil corresponde a la mediana 6. Q1 = 6

Nota. En Excel lo determinas con la Función: Cuartil.INC

A manera de conclusión podemos decir entonces que de la serie de calificaciones del problema, las que están dentro del primer cuartil son aquellas con valores menores o iguales a 6.

Ahora determinemos el tercer cuartil que corresponde a la mediana de los datos que quedaron a la derecha de la mediana “natural”. Procedemos de la misma manera.

Cuartil3PS

Por lo que el tercer cuartil corresponde a la mediana 8. Q3 = 8 

Así pues estamos en condiciones de decir que del total de calificaciones el 75% son menores o iguales a 8, y que el 25% son superiores a 8.

Toda la serie de datos quedaría segmentada de la siguiente manera…

Cuantiles4dPS

Ahora resolvamos el problema excluyendo a la mediana natural.

Nota. En Excel lo determinas con la Función: Cuartil.EXC

La mediana “natural” del conjunto de números es exactamente la misma que en el primer caso.

Cuantiles1PS

Ahora calculemos la mediana de los datos que quedan a la izquierda, pero esta vez descartando a la mediana “natural”.

Cuantiles2PS

Observamos que el cuartil 1, Q1, coincide con el que habíamos determinado anteriormente.

Ahora calculemos el cuartil 3, Q3.

Cuantiles3PS

En este caso obtenemos un Q3 que no coincide con el del primer caso, pues este es de 8.5, lo cual quiere decir que el 75% de los datos es menor que 8.5

Ahora bien, ¿cómo quedaría la distribución cuartilica? Te la muestro en la siguiente imagen.

Cuartil7PS

Cabe mencionar que los dos procedimientos anteriores para determinar los cuartiles de un conjunto de datos no son los únicos, y que en los libros y en la red puedes encontrar otras formas de hacerlo.

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One response

6 06 2016
Luis Mendoza

Muy buenos dias estimado Ing. Guerrero. Muchas gracias por tan interesantes temas, solo tengo una duda. ¿por que en los trece datos originales hay un 10 y 3 veces 8 y mas adelante se omite el diez y se aumenta un ocho?.
Quiero pensar que fue error dededo.
Mis mas cordiales saludos.!!!
…………..

Hola Luis…
¡Ja! Entre cuartiles, cuantiles, y números de repente se me escapa alguno. Ya corregí, gracias por la observación.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

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