Tópicos de Estadística.

16 04 2015

Tema 15. Varianza.

VarianzaLa Varianza es otra Medida de Dispersión de los Datos obtenida a partir de la Desviación Estándar (o viceversa, como quieras verlo). Su valor se determina elevando al cuadrado la Desviación Estándar. Así pues… la fórmula para calcularla es:

Varianza Poblacional

Pero… ¿Qué sentido tiene calcular la Varianza si con la Desviación Estándar es suficiente?.

Bueno… además de estar ligada a la Desviación Estándar sucede que al elevar al cuadrado los resultados de la resta de cada Dato con la Media Aritmética, desaparece cualquier número negativo y además obtienes cantidades grandes en las cuales puedes observar mejor las diferencias entre los resultados. No obstante al final de cuentas la Varianza es “pan con lo mismo”, te permite conocer el grado de Dispersión de los Datos respecto a su valor central.

Para “no variar” veamos lo que señala Wikipedia respecto de la Varianza.

Wikipedia Los Accidentes Pueden PrevenirseEn teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como \sigma^2) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.

Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.

Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influida por los valores atípicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de dispersión más robustas.
…………………………………………….

Dejemos la teoría y vayamos directamente a la solución de un problema…

Sean los datos: 2, 6, 8, 2, 4. Hallar su Varianza.

Primero determinamos la Media Aritmética.
¯X = (2+6+8+2+4)/5 = 4.4

Enseguida determinamos la Varianza.
σ² = ((2-4.4)²+(6-4.4)²+(8-4.4)²+(2-4.4)²+(4-4.4)²)/5
= ((-2.4)²+(1.6)²+(3.6)²+(-2.4)²+(-0.4)²)/5
= 25.8/5 = 5.44

Así pues la Varianza es: σ² = 5.44

Bien… ya sabes cómo calcular la Varianza, ahora apliquémosla al problema de los seis estudiantes como un reforzamiento adicional de la determinación del “más mejor” de los seis.

Para el primer alumno, sus calificaciones son: 5, 8, 4, 10, 10, 8, 9

Primero determinamos la Media Aritmética.
¯X = (5+8+4+10+10+8+9)/7 = 7.71

Enseguida determinamos la Varianza.
σ² = ((5-7.71)²+(8-7.71)²+(4-7.71)²+(10-7.71)²+(10-7.71)²+(8-7.71)²+(9-7.71)²)/7
= ((-2.71)²+(0.29)²+(3.71)²+(2.29)²+(2.29)²+(0.29)²+(1.29)²)/7
= 25.8/5 = 4.77

Así pues la Varianza para el primer alumno es: σ² = 4.77 

Calcula el resto de Varianzas…

Después de calcular todas las Varianzas la tabla quedaría así:

Probl 6 alumn VARIANZA
Observamos entonces que nuevamente el valor más pequeño es para el estudiante 5 (obviamente no podía ser otro el resultado).

Nota. Si quieres reforzar lo anteriormente explicado respecto a la VARIANZA te dejo el enlace a Khan Academy.

Video Khan Academy
Hasta aquí las Medidas de Dispersión, en los siguientes temas abordaremos otro tipo de medidas que también son importantes en la Estadística, como es el caso de las Medidas de Forma, mientras tanto…

Tareas gato aconsejando

Haz caso a micifuz y resuelve el siguiente ejercicio…

Determinar la Varianza para cada columna de Datos.

Ejerc VARIANZA


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One response

17 04 2015
Jesus

Tengo la duda de que si la amplitud de un intervalo de clase es el numero de medidas que lo componen o es la diferencia entre el limite mayor menos el limite mayor , es decir si tengo un intervalo de 20 – 23, es 4 ó 3 ?
………….

Hola Jesús…
Depende de si es un intervalo cerrado o abierto. Si es cerrado tendrías 4, si es abierto tendrías 3. Por eso lo que suele hacerse es colocar un corchete o un paréntesis para indicar la apertura o cierre del intervalo, por ejemplo:
[20-23]… Es un intervalo cerrado, que contiene a los extremos 20 y 23, por lo tanto tendrías 4 valores a contemplar: 20, 21, 22 y 23.
[20-23)… Es un intervalo abierto e implica que consideres el entero inmediato inferior al 23, así pues tendrías que considerar sólo 3 valores: 20, 21 y 22.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

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