Tópicos de Estadística.

10 04 2015

Tema 14. Desviación Estándar.

Todas las Medidas de Dispersión se refieren esencialmente a lo mismo, al nivel del alejamiento de los Datos respecto de su valor central. A veces el valor central es la Media Aritmética, y otras la Mediana, así pues, la Desviación Estándar (o también llamada “Desviación Típica”) en esencia es “pan con lo mismo”, perooooo….. hay algunas “cosillas” que debes saber de ella.

Desviación Tipica o Estandar

En primer lugar hay dos tipos de Desviación Estándar: la poblacional y la muestral.

¿Qué significa poblacional?. Población. Se refiere a TODOS los Datos.
¿Qué significa muestral?. Muestra. Se refiere a una parte del conjunto de Datos. Del total de Datos, reales o posibles de obtener, se estudia una muestra, se trabaja con ella y los resultados se aplican a toda la población.

Recuerda que hay dos tipos de Estadística, la Descriptiva (es con la que hemos trabajado) y la Inferencial. Pues bien la Estadística Descriptiva está más relacionada con TODA una población de Datos, mientras que la Estadística Inferencial trabaja sólo con una Muestra de los mismos y sus resultados tienen inferencia (llegar a una conclusión general, a partir del estudio de una parte) se aplican igual- a toda la población.  

Hay medidas de Estadística Descriptiva e Inferencial cuyas fórmulas coinciden, pero en el caso de la Desviación Estándar hay diferencias, tómalo en cuenta. En este tema nos abocaremos a estudiar la Desviación Estándar para TODA una población de Datos.

Wikipedia es la Pura OndaPara no desentonar consultemos lo que dice la “ondeada” Wikipedia respecto de la Desviación Estándar.
…………………….
La desviación típica o desviación estándar (denotada con el símbolo σ o s, dependiendo de la procedencia del conjunto de datos) es una medida de dispersión para variables de razón (variables cuantitativas o cantidades racionales) y de intervalo. Se define como la raíz cuadrada de la varianza de la variable……………………………………………

¿Comprendiste la definición?.

Por si acaso te escribo mi concepto…

La Desviación Estándar es una medida del acercamiento de los datos respecto al Promedio de los mismos, obtenido éste mediante la raíz cuadrada del inverso del total de Datos multiplicado por el cuadrado de la diferencia de cada Dato con la Media.

La Desviación Estándar puede determinarse con cualquiera de las siguientes fórmulas:

Desv Estand

¿Ahora sí lo entendiste?. Espero que sí.

En lo personal nunca me han gustado las definiciones porque a veces son demasiado técnicas y otras tienen demasiado “rollo” y al final uno termina “enrrollado”. Lo que siempre he dicho es que un ejemplo vale más que cien conceptos, así que….resolvamos uno, pero antes…. revisemos las partes de las fórmulas.

N es el Número de Datos.
Xi, X1, X2, X3,…,XN es cada uno de los Datos.
¯X es la media Aritmética del conjunto de Datos.
indica sumatoria (suma de).
i=1 hasta N quiere decir que debes trabajar con el primero y hasta el último Dato.

¿Qué diferencias existen entre la Desviación Media y la Desviación Estándar?.

La principal diferencia se da en que la Desviación Media considera un valor absoluto para la resta de la Media a cada uno de los Datos, lo cual de alguna manera es un pequeño “desliz”, que “empaña” a tal medida (¿de dónde surgió tal valor absoluto?). En cambio la Desviación Estándar matemáticamente está bien estructurada al elevar al cuadrado cada resultado de la misma resta y posteriormente extraer raíz cuadrada al total, por lo que de haber signos negativos automáticamente desaparecerían, cosa que no sucedería con la Desviación Media si no se utilizaran valores absolutos. Lo anterior no quiere decir que la Desviación Media esté mal, es simplemente que está “forzada” a dar un resultado, pero de que sirve, vaya que sí sirve.

Dicho lo anterior, resolvamos un problema sencillo.

Sean los Datos 3, 6, 3, 6, 5, 1. Determinemos su Desviación Estándar.

¯X=(3+6+3+6+5+1)/6 =24/6 = 4
S= √{[(3²+6²+3²+6²+5²+1²)/6]-4²} = 1.82  ….. Nota. En Excel búscala como Desviación Estándar Poblacional (DESVEST.P). Recuerda que para calcularla también puedes utilizar Aplicaciones Android como es el caso de Statistics Calculator Pro.

Video Khan AcademyLa Desviación Estándar resultó ser de 1.82, pero… ¿Y eso de qué nos sirve?.

Bueno… ya sabemos que en las Medidas de Dispersión a mayor cercanía con el cero ello indicaría que los Datos están muy concentrados alrededor del centro/Media de los mismos, y en este caso, dado que el 1.82 considerado como tal es un número pequeño, pero es relativamente grande de acuerdo a los valores que presentan los Datos, podemos decir entonces que el conjunto presenta una dispersión alta. Ahora bien, para saber cuántos Datos se salen de los límites de la Desviación Estándar lo que tendrías que hacer es sumar y restar la Desviación Estándar a la Media Aritmética, y así obtendrías dos límites entre los cuales buscarías los Datos que “entran” y los que “salen” de tal rango (hazlo y verás que de los seis Datos el 50% quedan “fuera”). (Observa el video de Khan Academy ligado a la imagen para entender mejor el tema que estamos tratando). 

Por otra parte, cuando se trata de comparar diferentes Desviaciones Estándar el asunto adquiere mayor relevancia, como es el caso del problema de los seis Alumnos/as que dejamos hasta el cálculo de la Desviación Media en el Tema anterior, quedando pendiente la COMPROBACIÓN de sí efectivamente el Alumno/a 5 era el “más mejor”. Para hacerlo utilizaremos la Desviación Estándar, realizaremos juntos el cálculo para el primer Alumno/a y tú la determinarás para el resto…

Cálculo de la Desviación Estándar para el primer Alumno/a. Siempre busca resolverlo en una sola línea de operación en tu calculadora.

Primero determinaremos la Media Aritmética.

¯X = (5+8+4+10+10+8+9)/7 = 7.71 (Este resultado queda registrado en tu calculadora como ANS).

Enseguida calcularemos la Desviación Estándar.

S = √(((5²+8²+4²+10²+10²+8²+9²)÷7)-ANS²) = 2.18

El mismo procedimiento aplicado a todos los Alumnos/as te llevará a obtener los resultados indicados en la siguiente tabla que ya conocíamos…

Desv Estand Probl 6 Alumnos

¡¡¡ALELUYA!!!

Encontramos que el menor valor de la Desviación Estándar corresponde justamente al estudiante 5, con lo cual CONFIRMAMOS que efectivamente este alumno/a es el “mejor” de todos.

Celebrémoslo con un baile…

Ahora bien, para que te diviertas mucho más resuelve el siguiente ejercicio. Haz caso al felino graduado…

Tareas gato aconsejando.

Determinar para cada columna de Datos su Desviación Estándar.

Ejerc Desv Estándar


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