Tópicos de Estadística.

15 03 2015

Tema 4. Tablas de Frecuencia.

Clasificando datosEn el tema anterior construimos una Tabla de Frecuencias básica, esta vez realizaremos una más amplia, que incluya además de los Intervalos de Clase y de la Frecuencia Absoluta, elementos como: Marcas de Clase, Frecuencia Absoluta Acumulada, Frecuencia Relativa y la Frecuencia Relativa Acumulada. A partir de la misma realizaremos un gráfico de barras (Histograma).

La Tabla de Frecuencias que llenaremos estará conformada de la siguiente manera…

Tabla de Frecuencias

Primero entendamos cada elemento/columna, definamos qué tipo de operaciones tendrás que realizar en cada caso.

Clases, Intervalos y Amplitud de Clases: Relacionados entre sí, son los “niveles” y “espacios” numéricos en los cuales acomodarás tus Datos. Por ejemplo, una Clase/Intervalo de [15-20) significa que buscarás entre tus Datos todos los números 15, 16, 17, 18, y 19. ¿Y el 20? Un paréntesis después de un número en una Clase -como es el caso del 20) indica valores menores de él. Usualmente los paréntesis expresan que el valor mostrado no se incluye, mientras que un corchete si lo contiene. Por ejemplo el siguiente intervalo: [12-16] significa que buscarás entre tus Datos los números: 12, 13, 14, 15 y 16, o si hubiese enteros con decimales entre el 12 y el 16 por ejemplo 13.6, 12.9, etc., también estarían incluidos.

Marca de Clase (MC). Se refiere al valor medio de cada Intervalo de Clase. Por ejemplo el siguiente Intervalo: [20-25). La Marca de Clase sería (20+25)/2 = 22.5; y si el Intervalo fuera: [32-38] la Marca de Clase sería: (32+38)/2 = 35

Frecuencia Absoluta (Fa). Es la cantidad de Datos que “caen” dentro de un Intervalo. Por ejemplo, si el Intervalo es: [24-26) y todos tus Datos son: 14, 20, 26, 24, 23, 18, 25, 24, 30, 25. Al contar resultan cuatro Datos para el Intervalo mencionado, así pues anotarías en la columna de Frecuencia Absoluta (Fa) el número 4.

Frecuencia Absoluta Acumulada (Faa). Las cantidades que colocas en la columna de la Frecuencia Absoluta se suman en forma acumulada y el resultado se coloca en la columna de Frecuencia Absoluta Acumulada hasta llegar al total de los mismos. Por ejemplo, si tienes un total de 25 Datos al acumular las Frecuencias Absolutas llegarás finalmente a los 25 Datos.

Frecuencia Relativa (Fr). Se refiere al valor obtenido de la división de cada Frecuencia Absoluta entre el total de Datos. Por ejemplo, si tienes un total de 50 Datos y cuatro de ellos corresponden a un Intervalo particular entonces la Frecuencia Relativa será: 4/50 = 0.08

Frecuencia Relativa Acumulada (Fra). Se refiere a sumar en forma acumulada las Frecuencias Relativas individuales hasta llegar a 1.

¿Quedó claro?

¡Bah! Lo mejor siempre será resolver problemas y a partir de ello aprender lo que implica cada término, así que…

Problema. Un empresario del ramo artesanal te contrata para que realices un gráfico de barras que muestre en niveles la cantidad de productos elaborados por sus trabajadores a lo largo de un mes, para lo cual te proporciona las cantidades correspondientes a cada uno.

Datos proporcionados por el empresario acerca del número de productos realizados por cada trabajador.

Datos problema 1

¿Cómo lo resolverías?

Una posible solución técnica -y sólo una- es la siguiente…

1. Ordenar los datos. En este punto conviene mencionarte que si resuelves el problema apoyándote en una Hoja de Cálculo de Excel o Calc de Open Office u OfficeSuite para Android o Number para Mac o IPad, en realidad no necesitarías ordenarlos ya que el programa puede hacerlo por ti y además resolver el resto del problema utilizando fórmulas, pero si trabajas “a pie” este es el primer punto que tendrás que resolver.

Los Datos ordenados quedarían así…

Datos Ordenados problema 1

2. Calcular la cantidad o Número de Clases que tendrá tu Tabla. 

Para calcular la cantidad de Clases existen dos métodos: Extraer la raíz cuadrada al total de datos o aplicar la Fórmula de Sturges. Apliquemos ambos y decidámonos por uno de ellos.

N es el número de Datos, en este caso son 72 así pues: N=72

Método de la Raíz cuadrada. Cantidad de Clases = √N = √72 = 8.48
Regla de Sturges. Cantidad de Clases = 1+3.322 Log N = 1+(3.322)(Log 72) = 7.17

Entonces tienes dos opciones perfectamente válidas: 8.48 y 7.17 Obvio, en ambos casos tendrías que redondear o recortar el número, así que… ¿Con quién te vas, con melón o con sandía?.

Supongamos que te vas con melón (8.48) el cuál redondeado sería 9. En conclusión tendrías 9 Intervalos de Clasey en consecuencia tu gráfico tendrá 9 barras.

Lo anterior es lo técnico, pero hagamos un breve paréntesis y respondamos a la siguiente cuestión… ¿Qué tal si el empresario por alguna extraña razón te hubiese indicado que el gráfico sólo debe tener 6 barras?. O dicho de otra manera, todos los trabajadores deben estar acomodados en 6 grupos de acuerdo a su productividad. En este caso los dos métodos anteriores para determinar el número de Clases simplemente no funcionarían. ¿Qué harías entonces? ¿Acaso renunciar al trabajo y dejar de ganar un dinero que quizá te calme el hambre unos días? ¿El celular de última generación que comprarías con el dinero que ganarías, lo dejarías “volar”? ¿Las bocinas de gran potencia que pondrías al auto que te prestan tus padres y que te permitirían “apantallar” a los demás cuando transitaras por las calles haciendo escándalo con tu música estridente, simplemente no será?.

¡Bah! No te preocupes, podrás hacer todo lo anterior (y más). Afortunadamente la Estadística es flexible, aguanta muchas cosas, entre otras si tienes la necesidad de concentrar todos tus Datos en 6 grupos simplemente utiliza un 6 -en lugar del 9- en los siguientes pasos, te garantizo que ni mamá campanita, ni el lobo feroz, ni el señor de los anillos o el de los churros rellenos con cajeta del carrito de la esquina, ni Rin Tin Tin, ni la señorita cometa, ni el payasito pildorita, ni Godofredo Achenwall o John Sinclair a quienes se les atribuye la creación de la Estadística, nadie se molestará porque elijas otro número de acuerdo a tus necesidades. Pero en fin… procedamos como si el empresario hubiese sido respetuoso de tus conocimientos y no te hubiera indicado nada raro, y que tú igualmente seas respetuoso de lo que técnicamente existe. Así pues… continuemos solucionando el problema con toda normalidad, utilicemos el 9.  

3. Determinar el MAYOR y el menor de los Datos.

VM = 66
vm = 15

4. Obtener el Rango de los Datos.

R = VM – vm = 66-15 = 51

5. Para obtener la Amplitud de Clase divides el Rango entre el Número de Clases.

Amplitud de Clase = 51/9 = 5.66 Redondeado tenemos 6.

6. Por lo tanto los Intervalos de Clase quedarían así… iniciando en el Dato menor.

[15-21)
[21-27)
[27-33)
[33-39)
[39-45)
[45-51)
[51-57)
[57-63)
[63-69]

7. Para obtener las Marcas de Clase simplemente se suman los números que corresponden a cada Intervalo y el resultado se divide entre 2.

MC1 = (15+21)/2 = 18
MC2 = (21+27)/2 = 24
MC3 = (27+33)/2 = 30; etc.

Observa que las Marcas de Clase se incrementan de 6 en 6 igual que la Amplitud de Clase.

8. Las Frecuencias Absolutas (Fa) se obtienen contabilizando Datos que estén dentro de cada Amplitud de Clase. De esta manera las primeras Frecuencias Absolutas serían:

Fa1 = 3
Fa2 = 4
Fa3 = 11; etc.

La suma de las Frecuencias Absolutas es igual al total de Datos, en este caso 72.

9. Las Frecuencias Absolutas Acumuladas (Faa) se obtienen sumando las Frecuencias Absolutas una a la otra secuencialmente.

Faa1 = Fa1 + 0 = 3 + 0 = 3
Faa2 = Fa2 + Faa1 = 4 + 3 = 7
Faa3 = Fa3 + Faa2 = 11 + 7 = 18; etc.

En este caso la última Frecuencia Acumulada es igual a 72.

10. Para obtener las Frecuencias Relativas (Fr) se procede dividiendo cada Frecuencia Absoluta entre el total de Datos de la siguiente manera:

Fr1 = Fa1/N = 3/72 ≈ 0.042 (Nota. El símbolo ≈ significa: “aproximadamente igual a”)
Fr2 = Fa2/N = 4/72 ≈ 0.056
Fr3 = Fa3/N = 11/72 ≈ 0.153; etc.

La Suma de todas las Frecuencias Relativas es 1.

11. Para obtener las Frecuencias Relativas Acumuladas (Fra) se suman las Frecuencias Relativas en forma acumulada:

Fra1 = Fr1 + 0 = 0.041 + 0 ≈ 0.042
Fra2 = Fr2 + Fra1 = 0.055 + 0.042 ≈ 0.097
Fra3 = Fr3 + Fra2 = 0.152 + 0.097 ≈ 0.250; etc.

La última Frecuencia Relativa Acumulada es igual a 1.

Así pues nuestra Tabla de Frecuencias quedaría así:

Tabla de Frecuencias P1

Y nuestro gráfico…

Grafico de Artesanias

Conclusiones…

1. Un buen grupo de trabajadores (23.61%) produce entre 39 y 45 artesanías.
2. Existen tres trabajadores que destacan del resto, producen entre 63 y 69 productos. Convendría darles algún incentivo.
3. Convendría orientar a siete trabajadores que sólo producen entre 15 y 27 productos.

¡Ok’kkkk!. Problema resuelto…

Una vez que concluyes el problema acudes felizmente con el empresario que te contrató, entregas tu gráfico, con su respectiva memoria técnica, esperando las consabidas felicitaciones por tu excelente trabajo, y por supuesto el pago por tus servicios -y quizá alguna compensación extra ya que te empeñaste muchísimo en hacerlo bien-. El empresario al recibir tu trabajo observa atentamente el gráfico y te dice amablemente…

-¡Oh, qué bien!. Está muy bien tu trabajo. Me agrada, me llena de placer la vista. Se ve que sí sabes de Estadística muchacho/a. Gracias, eres un buen técnico. Todo está bien amigo/a pero yo NO quería nueve barras, ¡Yo quería sólo seis!-.

-¡Maldición! -Exclamas tú y replicas. -¿Y por qué no me lo dijiste cuando inicié el trabajo?-.

Seguramente el empresario te respondería. -¿Y por qué no me lo preguntaste? Tú eres el técnico, no yo.

¿Qué harás entonces?.

¡Ja! Lo anterior no es broma, desgraciadamente suele suceder, y con más frecuencia de lo que imaginas. Así que…

¡RESUÉLVELO…!

∗Actividad a realizar por parte del alumNO∗

El antes y el después de dejar tareas a mis alumnos/as.

Resolver el problema anterior pero obteniendo sólo seis barras para el Histograma. Poner en práctica las siguientes competencias y destrezas.

Competencias
C5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
C8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Destrezas
Destrezas de vida y de profesión.
-Flexibilidad y adaptabilidad
Iniciativa y autonomía

Te dejo este simpático cortometraje de tres minutos y medio llamado Amor y Estadística.

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One response

16 03 2015
SAUL BERDON C

Ing. LO FELICITO ,, Sinceramente Mb , su espacio y la información..
Soy docente del CETMAR en Ver. Ver y doy esta materia de estadística.
…………….

Muchas gracias colega Saúl…
Espero te sean útiles los temas desarrollados.
Un abrazo cordial.
Ing. I. Guerrero Z.

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