Tópicos de Cálculo Integral.

6 12 2010

Tema 11a. UdU en un producto de binomios.

En muchos casos de integrales del producto de dos binomios es necesario completar la diferencial dU a efecto de no convertir toda la operación en un proceso sumamente la-bo-rio-so. Lo mejor para comprobarlo es resolver un problema en el que puedas comparar ambos procedimientos, primero utilizando U y dU y después efectuando la multiplicación de ambos binomios.

¡Manos a la obra!

Sea la siguiente integral, resolverla por los métodos indicados anteriormente.

(x2+2x)4(x+1)dx

Procedamos igual que en el tema anterior. Igualamos a U el primer binomio (factor) y determinamos dU a partir de ello.

U=x2+2x
dU/dx=2x+2
dU=(2x+2)dx

Nota. Por lo general los problemas planteados en los libros están diseñados de tal manera que coincidan con el procedimiento que tratan de explicar (como dijo el Chapulín colorado: “están fríamente calculados”), pero puede darse el caso de que algún autor cambiara de posición los dos binomios (factores de la multiplicación) para obligarte a pensar más, es decir, si en lugar de tener:

(x2+2x)4(x+1)dx, 

tuvieras:

(x+1)(x2+2x)4dx,

en ambos casos la función es la misma, no obstante si para obtener dU utilizas siempre el primer factor (x2+2x) y al intentar resolver la integral no te lleva a un resultado concreto, entonces como segunda opción utiliza el otro factor (x+1) y procede a resolverla. Si ya lo hiciste de ambas formas y a pesar de ello sigues igual sin poder resolver la integral entonces lo que te queda es efectuar la multiplicación de los dos binomios.

Observa que en este caso el dU de la integral: (x+1)dx es diferente al dU obtenido a partir de U, pero si analizas bien puedes manipular la expresión a integrar ya sea completándola o factorizándola hasta que ambos dU queden exactamente iguales. ¿Cómo hacerlo en este caso? 

Multiplica por 2 la integral y ambos dU quedarían exactamente iguales puesto que 2(x+1) = 2x +2, solo qué, si agregas un 2 multiplicando tendrás que dividir todo entre 2 para evitar afectar la función a integrar, entonces…

Después que ya completaste la integral simplemente procede a integrar.

Quedaría…

 

Ahora resolvamos la integral sin hacer uso de U, y dU por lo que tendremos que desarrollar el binomio (x2+2x)4 y luego multiplicar el resultado por (x+1), lo cual es sumamente te-dio-so y además es muy fácil equivocarse en algún número (mayormente si hay algún término negativo implicado), sea coeficiente o exponente, pero bueno…. por última vez…

¡Hagámoslo!

Para resolver la multiplicación de los dos binomios: (x2+2x)4(x+1) apliquemos lo ya conocido: separemos el binomio elevado a la potencia 4 en dos binomios elevados a la potencia 2, desarrollamos y multiplicamos ambos, y finalmente multiplicamos el resultado por (x+1).

(x2+2x)4(x+1)dx =

Separamos (x2+2x)4 en dos binomios elevados a la potencia 2

(x2+2x)2(x2+2x)2(x+1)dx =

Desarrollamos ambos binomios elevados a la potencia 2. “El cuadrado del primero, más el doble del primero…. bla, bla, bla”.

{ [ (x2)2 + 2(x2)(2x) + (2x)2) ] [ (x2)2 + 2(x2)(2x) + (2x)2] } (x+1) dx =

Efectuamos las operaciones…

(x4 + 4x3 + 4x2)(x4 + 4x3 + 4x2) (x+1) dx =

Multiplicamos los trinomios obtenidos (recuerda que al resultado de desarrollar un binomio elevado a la potencia 2 se le llama trinomio cuadrado perfecto).

Primero multiplicamos x4 por (x4 + 4x3 + 4x2), luego hacemos lo mismo con 4x3 y finalizamos esta parte con 4x2.

(x4.x4 +x4.4x3 +x4.4x2 +4x3.x4 +4x3.4x3 +4x3.4x2 +4x2.x4 +4x2.4x3 +4x2.4x2 )(x+1) dx =

Nos quedaría…

(x8 + 4x7 + 4x+ 4x7 + 16x6 + 16x5 + 4x6 + 16x5 + 16x4)(x+1) dx =

Sumando términos semejantes…

(x8 + 8x7 + 24x+ 32x5 + 16x4)(x+1) dx =

Ahora multiplicamos por (x+1).

{ x8 x+ 8x7 x+ 24x6 x + 32x5 x+ 16x4 x + x8 (1) + 8x7 (1) + 24x6 (1) + 32x5 (1) + 16x4(1) } dx =

(x9 + 8x8 + 24x7+ 32x6 + 16x5 + x8 + 8x7 + 24x+ 32x5 + 16x4) dx =

Sumamos términos semejantes…

(x9 + 9x8 + 32x7+ 56x6 + 48x5 + 16x4) dx =

Ahora sí, integramos…

x10/10 + 9x9 /9 + 32x8/8 + 56x7/7 + 48x6/6 + 16x5/5 =

Finalmente dividimos (lo que se pueda)…

= x10/10 + x9 + 4x8 + 8x7 + 8x6 + 16x5/5 + C

¡¡Uff!!

Tenemos dos resultados por dos caminos diferentes los cuales aparentemente no son iguales:

Resultado 1.

(x2+2x)5/10, y, 

Resultado 2.

x10/10 + x9 + 4x8 + 8x7 + 8x6 + 16x5/5

Para comprobar si ambos resultados son exactamente iguales hay varios procedimientos, uno de ellos es calcular en ambos casos la integral definida entre los valores 0≤ x ≤1, pero eso te corresponderá hacerlo a ti, así que…

¡¡Ánimoooo!!

 


Acciones

Information

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s




A %d blogueros les gusta esto: