Tópicos de Cálculo Integral.

25 11 2010

Tema 11. U y dU en un producto de binomios.

En este tema comprenderás la diferencia que hay entre desarrollar una expresión algebraicamente para poder integrarla, o utilizar U y dU, para obtener lo mismo. Sin mayores preámbulos vayamos directamente a un problema.

Sea la siguiente integral, resolverla.

(x2+x)3(2x+1)dx

Puedes ver que la función a integrar es un binomio elevado al cubo (x2+x)3 multiplicado por un binomio simple (2x+1) En este caso para integrar primero procedemos a desarrollar el binomio al cubo y luego lo multiplicamos por el binomio simple, con todo ello obtendremos un polinomio, mismo que integraremos en cada una de sus partes.

Por si no recuerdas la regla para desarrollar un binomio elevado al cubo te la escribo aquí, es: “El cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple del producto del cuadrado del segundo término por el primero, más el cubo del segundo término”.

Aplicando la regla anterior en el binomio al cubo quedaría…

(x2+x)3 =(x2)3+3(x2)2(x)+3(x2)(x)2+(x)3 =x6+3x4x+3x2x2+x3 = x6+3x5+3x4+x3

Después que tenemos desarrollado el binomio al cubo, lo multiplicamos por (2x+1)

(x6+3x5+3x4+x3)(2x+1) = 

x6(2x)+3x5(2x)+3x4(2x)+x3(2x)+ x6(1)+3x5(1)+3x4(1)+x3(1) =

2x7+6x6+6x5+2x4+x6+3x5+3x4+x3 =

=2x7 + 7x6 + 9x5 + 5x4 + x3

Ok´ Ya tenemos el resultado de la multiplicación, concluimos entonces que:

(x6+3x5+3x4+x3)(2x+1) = 2x7 + 7x6 + 9x5 + 5x4 + x3

Lo anterior quiere decir que las siguientes integrales…

(x2+x)3(2x+1) dx = (2x7 + 7x6 + 9x5 + 5x4 + x3) dx

Son exactamente iguales.

Integramos la última (lo haré paso por paso)…  

∫ (2x7 + 7x6 + 9x5 + 5x4 + x3) dx=

∫ 2x7 dx + ∫ 7x6 dx + ∫ 9x5 dx + ∫ 5x4 dx + ∫ x3 dx =

2 ∫ x7 dx + 7 ∫ x6 dx + 9 ∫ x5 dx + 5 ∫ x4 dx + ∫ x3 dx =

2x8/8 + 7x7/7 + 9x6/6 + 5x5/5 + x4/4 =

x8/4 + x7 + 3x6/2 + x5 + x4/4 + C

Concluimos…

(x2+x)3(2x+1)dx = x8/4 + x7 + 3x6/2 + x5 + x4/4 + C

Ahora veamos otra forma de hacerlo, determinando U y dU.

De la expresión inicial:

U = x2+x

Derivamos U.

dU/dx = 2x+1
dU = (2x+1)dx

Observa que la diferencial dU en este caso es exactamente igual a lo que tienes en la función a integrar: (2x+1)dx, por lo tanto, simplemente integra la función tratándola como cualquier función X elevada a una potencia (n), entonces quedaría…

(x2+x)3(2x+1)dx = (x2+x)3+1/(3+1) = (x2+x)4/4 + C ¡y ya está!

Quizá habrás exclamado ¿¡Qué!? ¿Cómo es posible que prácticamente en un solo paso pueda resolverse una integral que por otro camino requirió todo un tratamiento algebraico?

Pues sí. Así de simple es. Entonces ¿Tiene o no ventajas este método? Supongo que concluirás que sí.

Pero todavía más, ambos resultados parecen ser diferentes…

x8/4 + x7 + 3x6/2 + x5 + x4/4 + C parece diferente a: (x2+x)4/4 + C. Bueno… para comprobar si son iguales resolvámoslos calculando la integral dentro del intervalo: 0 y 1

Primero hagámoslo en el primer resultado.

Ahora hagámoslo con el segundo resultado…

Comprobamos entonces que en ambos casos resulta lo mismo, solo que, quizá ya lo habrás visto, el segundo procedimiento es mucho más “liviano” que el primero y tiene menos riesgo de caer en un error porque son menos pasos para llegar a la solución, así que te conviene aprender a utilizarlo.

En el siguiente tema complicaré un poco más la determinación de dU. 


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