Tópicos de Cálculo Integral.

22 11 2010

Tema 10. U y dU en la solución de integrales.

Hay integrales “directísimas” que puedes resolver en un solo paso, basta aplicar la fórmula correspondiente y ya está. Lamentablemente éstas integrales son pocas comparadas con la gran mayoría en las que necesariamente tendrás que realizar  “maniobras” algebraicas, razón por la cual necesitarás aplicar procedimientos más generales que te permitan resolver todos los casos que se te presenten: directas, directísimas, semidirectas, nada directas e incluso aquellas que no son ni lo uno ni lo otro.

Un procedimiento utilizado frecuentemente en Cálculo Integral implica la determinación de U y dU. ¿Recuerdas en Cálculo Diferencial cuando tenías V y dV? Pues bien, U y dU se refiere básicamente a lo mismo, se trata de expresiones en las que la “X” no está sola, tiene coeficiente o forma un binomio elevado a una potencia o está afectada por una raíz junto con más términos, etc., pero además, tratándose de Cálculo Integral tendrás que realizar “pequeños ajustes” . Veamos un ejemplo para que lo entiendas “más mejor” ¡Ja!

Sea la función: 1/(3x+5) obtener su integral.

[1/(3x+5)]dx=?

Primero igualas a U todo lo que está encerrado en el paréntesis.

U=3x+5

Ahora obtienes la derivada de U con respecto de X, es decir: dU/dX

dU/dX =3

Despejas dU, y trasladas dX del otro lado de la ecuación. Quedaría en forma de una multiplicación con el 3

dU=3dX

A la expresión anterior se le denomina diferencial de U, es decir: la diferencial de U es 3dX Grábalo bien en tu memoria porque a partir de hoy tendremos que utilizarlo frecuentemente. Volvamos al problema.

Tenemos que: dU=3dX. La clave está en el 3 La conclusión es que necesitamos agregar un 3 a la integral, lo cual haremos sin absolutamente ALTERAR la expresión inicial, por lo que agregaremos un 3 multiplicando la función y al mismo tiempo la dividiremos entre 3 Te pregunto ¿se altera una expresión si la multiplicas por una cantidad y la divides entre la misma cantidad? Es obvio que NO, dado que las operaciones de multiplicación y división son contrarias, entonces quedaría…

[(3)(1)/(3)(3x+5)]dx = (1/3)[3/(3x+5)]dx = (1/3)[3/(3x+5)]dx

O si quieres: =(1/3)3dX/(3x+5)

Lo mismo pero escrito de la manera tradicional…

Bien, ya tenemos “acomodado” todo, ahora procedamos a integrar. Quedaría…

(1/3)3dX/(3x+5) = (1/3) Ln (3x+5) + C

Expresado de otra forma…

(1/3)3dX/(3x+5) = Ln (3x+5)1/3 + C

O también…

(1/3)3dX/(3x+5) = Ln 3√(3x+5) + C

¿Cuál te gusta? Apuesto a que respondiste NINGUNA.

Nota. Quizá te estés preguntando ¿en dónde diablos quedó el 3 que acompañaba a dX? Lo comento porque incluso en clases me lo han preguntado. La respuesta es que ese 3 forma parte de dU, o sea dU=3dx y por lo tanto desaparece en el momento en que efectuas la integral. No sucede igual con el 1/3 puesto que no forma parte de dU y queda multiplicando al resultado de la integral. 

Pero… el resultado anterior parece diferente al que habíamos obtenido en el tema anterior. Antes teníamos…

[1/(3x+5)]dx = (1/3) Ln (x+5/3) + C

Bueno… es otro de los “detalles” del Cálculo Integral, a veces dos resultados para la misma función obtenidos por caminos diferentes parecen distintos, no obstante para comprobar si de verdad son diferentes la mayoría de las veces puedes hacerlo resolviendo el problema como si fuera una integral definida entre los valores más elementales (cero y uno) y enseguida lo descubres. En Cálculo Integral nunca debes dar nada por hecho hasta verdaderamente lo compruebas. Comprobemos pues si las  expresiones: (1/3) Ln (3x+5) y (1/3) Ln (x+5/3) dan igual resultado. Determinemos el área bajo la curva f(x)=1/(3x+5) en el intervalo 0 y 1.

Como la integral ya está resuelta simplemente calculémosla entre los valores 0 y 1.

Hagamos lo mismo con el resultado que obtuvimos en el tema anterior.

 

Puedes ver que en ambos casos el resultado es igual (15 centésimas de unidades cuadradas de área), lo que nos lleva a concluir que ambos procedimientos son perfectamente viables.

Pero… ¿cuál es la ventaja de hacerlo determinando U y dU? Quizá en este problema no veas ninguna pero entiende que hay muchísimas funciones en las que tendrás que aplicar este nuevo procedimiento. En el próximo tema verás la diferencia.

A manera de práctica de este nuevo procedimiento (determinando U y dU) resuelve los problemas indicados en el tema anterior.

 


Acciones

Information

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s




A %d blogueros les gusta esto: