Tópicos de Cálculo Integral.

15 11 2010

Tema 9. Integral indefinida de la función: 1/(x+5)

Si quieres integrar una función similar a: 1/(x+a), en donde a es una constante, por ejemplo: 1/(x+5), o similar: 1/(x-3), 1/(-4+x), 1/(2+x), observa que el binomio (x ± cualquier número) está elevado a la potencia 1, es decir: 1/(x+5)1, en estos casos si trasladaras el binomio del denominador al numerador quedaría elevado “a la menos 1”, (1)(x+5)-1, lo cual implicaría que al integrar aplicando la fórmula para una función (xn) obtuvieras una “división por cero” (como en el tema anterior), y después infinito (∞). Por tal razón debes proceder igual que si se tratara de una función (1/x) en la que al integrar obtienes un logaritmo natural.

No obstante hay elementos que debes cuidar en la función, más adelante te los indico, mientras tanto procede igual que los casos ya resueltos anteriormente, simplemente aplica la fórmula:

Obtener la integral de las siguientes funciones: 1(x+5); 1(3+x); 1/(-7+x); 1/(x-2).

En cada caso u es igual al denominador.

 

Como ves, es DEMASIADO simple.

Ahora veamos los “asegunes” que deben cumplir las funciones de este tipo para ser integradas directamente por la fórmula mostrada.

1. Para integrar directamente expresiones del tipo mostrado, la x no debe tener coeficiente diferente a 1, por ejemplo no debes tener (4x+3), (1-6x), etc., (enseguida te explico cómo proceder en estos casos).
2. La x siempre debe ser positiva.

Ahora bien, si en lugar de 1 en el numerador tuvieras otro número, por ejemplo: 4/(x+7), antes de integrar deja expresada una multiplicación de 4 por la integral y procede igual que en los casos anteriores, veámoslo…

 

Igual si tuvieras un numerador negativo, por ejemplo: -12/(3+x)

En fin…

Pero… ¿Y si tuvieras la función: 1/(3x+5)?, en este caso la x tiene coeficiente diferente a 1

Bueno… antes de integrar quita el coeficiente a la x separando el binomio en dos factores, deja expresada una multiplicación por la integral, e integra. 

El resultado anterior puedes dejarlo como está, pero se da el caso que en algunos libros lo escriban de otra manera, por ejemplo:

Lo que sucede es que en los resultados anteriores aplicaron las siguientes propiedades, mismas que ya debes conocer.

En el próximo tema te explicaré cómo resolver de otra manera las integrales anteriores, aplicando un procedimiento más general que te servirá para resolver todos los casos, incluso es aplicable en otras funciones. Se trata de obtener a partir de u su derivada, por ejemplo en la función: 1/(3x+5); u=3x+5; du/dx=3; du=3dx. 


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