Tópicos de Cálculo Integral.

3 11 2010

Tema 8. Integral definida e indefinida de la función: 1/x.

Aseguran quienes saben Cálculo Integral (yo solo soy un aprendiz) que éste es impredecible. Y es verdad, cuando parece que ya tienes la solución de todos los problemas de integrales semejantes aplicando una fórmula que ¡uf! memorizaste mejor que el “Padre nuestro” ¡maldición! surgen casos de integrales muy parecidas en los que NO SE APLICA la misma fórmula y por lo tanto implica otro procedimiento.

Te muestro un caso.

Integrar la función: y=1/x2

Solución.

Simplemente “subes” el denominador al numerador e integras aplicando la fórmula:

xn dx = (xn+1)/(n+1) + C

Entonces:

(1/x2) dx = (x-2) dx = x(-2+1)/(-2+1) = x-1/(-1) = -1/x + C

¡Fácil!, casi casi de primaria. Igual si tuvieras…

(1/x5) dx = (x-5) dx = x(-5+1)/(-5+1) = x-4/-4 = -1/4x4 + C

¡La última y nos vamos!

(1/x1/3) dx = (x-1/3) dx = x(-1/3+1)/(-1/3+1) = x2/3/(2/3) = (3/2)x2/3 + C

Sencillo, pero… nunca falta la mosca en la sopa…

Resolvamos: (1/x) dx

(1/x1) dx = (x-1) dx = x(-1+1)/(-1+1) = x0/0 = 1/0 + C

Alguien podría decir al ver el resultado, “¡total es infinito y ya!”.

Y es cierto. Tal como está (1/0) efectivamente resulta INFINITO (∞).

Perooooo……. el problema no es que resulte infinito, la dificultad está (visto de la manera más simple), en que si se tratara de una integral DEFINIDA no habría variable X en la cual sustituir los valores entre los cuales se quisiera determinar el área bajo la curva. Por ejemplo:

Sea la función: 1/x (es la misma). Determinar el área bajo la curva en el intervalo: 2≤x≤5 

¿En dónde diablos vas a sustituir los valores 5 y 2 para determinar el área resultante?

Y sin embargo… ¡tiene solución!, pero… ¡caray! es otro el procedimiento el que tienes que aplicar.

En este caso aplica la fórmula:

Entonces, cuando el desalmado de tu profesor te pregunte la integral de 1/x en lugar de aplicar el procedimiento común simplemente escribe que es igual al logaritmo natural de X (más una constante si se tratara de una integral indefinida). 

Volviendo al caso…

¿¡Qué tal!?

Pero no solo en el caso anterior puedes aplicar la mencionada fórmula, puedes hacerlo también en funciones semejantes por ejemplo: 1/(x+1); 7/(3-x); -3/(2x-5); 1/(3-4x); x/(x2+4); 4x2/(2-x3) y en general en todas aquellas en donde veas que el denominador está elevado a la potencia 1, sea que exista una sola variable o que esté acompañada formando un binomio.

En el próximo tema resolveremos algunos de estos casos.

 


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One response

4 11 2010
ING. CARLOS

MUY INTERESANTE INGENIERO, EN TODO ESTE TIEMPO Y DESDE LA ESCUELA, SUFRIAMOS CUANDO VEIAMOS UNA CONSTANTE ARRIBA DE UNA VARIABLE EN UNA DIVISION JEJEJEJE, LAS FUNCIONES INVERSAS Y EN ESPECIAL k/X, TIENEN UNA GRAFICA DE ESPEJO, YA KE ES BIYECTIVA, PERO EN EL ORIGEN… YA VALIO LA COSA AL SER INDETERMINADA, LO BUENO ES KE TIENE SU RECIPROCIDAD CON LOS LOGARITMOS AL SER TRASCENDENTAL, SOBREYEPTIVA CURIOSAMENTE, POR LO KE SI EXISTE UNA DEFINICION PARA EL ORIGEN, LA SALVACION A NUESTROS PROBLEMAS, ES CIERTO NO SE PUEDE VER AL CALCULO COMO UN RECETARIO DE COCINA, SIEMPRE HABRA KE IMPROVISAR, CLARO SABIENDOLE…SALUDOS.
…………..

Hola Ing. Carlos…
Excelente comentario/aportación colega, sería de mucha utilidad que le regalaras un artículo al respecto a la comunidad estudiantil del Nivel Medio Superior.
Saludos cordiales.
Ing. I. Guerrero Z.

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