Tópicos de Cálculo Integral.

7 10 2010

Tema 6. Problema: “el empastado” del patio frontal.

Recientemente te mudaste a vivir a una casa tipo condominio vertical (dos departamentos en cada edificio) frente al cual había un área verde todavía sin empastar, hoy ya lo está gracias a tu empeño. Para lograrlo tuviste que ponerte de acuerdo con tus vecinos y después de infinitos pleitos, disgustos, malos ratos y demás, por fin contrataron a una persona para que colocara pasto en las dos áreas mostradas en el dibujo, cobrándoles a $15.00 el Metro cuadrado, incluida la mano de obra. Las medidas del área empastada en cada caso son: 6 Metros el ancho total, 5 Metros al punto más cercano y 7 Metros al punto más lejano del edificio. ¿Cuánto pagaron en total?

El problema fue, claro, además de haberte puesto de acuerdo con tus vecinos, calcular las áreas que implican curvas.

Hagamos pues un modelo matemático del problema físico.

Analiza la figura de al lado.

La curva que se acopla a la situación física es una Parábola con vértice fuera del origen.

La función Y=(X2/4.5)+5 se obtuvo mediante el siguiente procedimiento…

Lo primero que debes hacer es distinguir las coordenadas del Vértice (h=0; k=5) y las de un punto (el más obvio, y además el más sencillo de medir es: x1=3; y1=7) de la Parábola. Después sustituyes los datos en la fórmula: (X-h)2=4p(Y-k) y con ello obtienes el valor de p.

Entonces quedaría…

(3-0)2=4p(7-5)
(3)2=4p(2)
9=8p
p=9/8
p = 1.125

Sustituyes p (distancia del origen al Foco de la Parábola) y V (coordenadas del Vértice) en la fórmula, quedando todo en función de las variables X e Y.

(X-h)2=4p(Y-k)
(X-0)2=4(1.125)(Y-5)
X2=4.5(Y-5)
X2/4.5=Y-5
X2/4.5+5=Y
Y = (X2/4.5) + 5

Luego que obtienes la función la integras entre los siguientes valores:

1. Puedes integrar entre 0 y 3 con lo cual obtienes la mitad del área de uno de los dos espacios, y después la multiplicas por 4 para obtener el área total.

2. Puedes integrar entre los valores -3 y 3 con lo cual obtendrías el valor del área de uno de los dos espacios misma que tendrías que multiplicar por 2 para obtener el área total.

Hagámoslo considerando solo la mitad del área mostrada, en este caso la integral quedaría…

Tenemos entonces que la mitad del área bajo la curva tiene un área de 17 M2. Este número lo multiplicamos por 4 y obtenemos el total del área empastada. Quedaría…

Área Total = 17×4 = 68 M2

Sesenta y ocho metros cuadrados multiplicados por $15.00 dan un total de:

Costo total del empastado: (68)(15) = $1,020.00

Así que, entre todos pagaron: Un mil veinte pesos.

Bueno… a veces el precio en dinero que tienes que pagar por una obra en realidad no es muy alto comparado con el precio en disgustos para ponerte de acuerdo con los demás ¡Ja!



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2 responses

2 11 2010
Guillem

Hola:
Creo haber detectado 2 fallos en sus problemas.
– 1.- sobre la lata de refresco, la función que se debe minimizar no es el perímetro si se desea utilizar el mínimo de aluminio se tiene que minimizar la superficie, del contorno más la del fondo y la tapa
– 2.- respeto al problema de empastar, no estoy de acuerdo en que la única curva que passa por 3 puntos es la parabola, sin ir más lejos está también la circumferencia.
…………..

Hola Guillem…
Gracias por tus observaciones, ello ayuda a que estos temas estén lo mejor desarrollados y exactos posibles. Sin embargo…
1. Sobre la lata de refresco. Si resuelves el problema buscando el ÁREA mínima llegarías solo a la igualación de la derivada a cero, más allá no es posible continuar, entonces lo que queda es desarrollarlo por medio del perímetro de la lámina. Eso sucede a veces con el cálculo diferencial e integral, por un camino aparentemente igual a otro no llegas a ningún resultado, pero por el otro -que se supone sería igual- si se llega a un resultado concreto. Entonces hay un cierto grado de “impredecibilidad” en los procedimientos de ambas técnicas (al aplicarlas en problemas reales obviamente). No obstante te invito a que desarrolles el tema según lo comprendes y lo publico aquí como una solución alternativa (los créditos serán tuyos obviamente).
2. Tendrías razón solo en el caso EXACTO de que la distancia al foco y el radio de la circunferencia fueran iguales y que además el punto por el que pasara la parábola tuviera la misma dimensión del radio cosa que no sucede en este problema, pues si analizas la figura del origen al punto de la parábola (o su equivalente el radio) hay tres unidades mientras que el valor de p es 1.125, son diferentes pues.
Pero en fin, te agradezco tu comentario y espero continues leyendo.
Saludos cordiales.
Ing. I. Guerrero Z.

29 10 2010
Beatriz Carrasco Lazaro

Ing. Guerrero
Hola Ing. Es un gusto encontrar su página. Puede usted informarme si el personal docente de carrera de medio tiempo pude incrementar su tiempo con horas de asignatura o solo hasta el momento de existir una vacante de tres cuartos de tiempo.
Agradeceré su respuesta.
Beatriz Carrasco Lázaro.
………..

Hola Beatriz….
Colega, de poderse se puede, pero hasta donde sé los mandos oficiales superiores tratan de evitar la asignación de horas “sueltas” a los trabajadores dado el hecho de que generan problemas al momento de compactar a una sola plaza (lo cual es cierto, ya lo viví). Luego entonces, si te dieran a escoger entre recibir horas de asignatura o esperar un tiempo razonable para subir a tres cuartos de tiempo, te sugiero que mejor escojas lo segundo, no obstante la decisión final es tuya.
Saludos.
Ing. I. Guerrero Z.

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